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Hubarbeit über Integralrechnung


m·g·h


Basiswissen


Soll ein Satellit in eine Erdumlaufbahn geschossen werden, rechnet man dazu mit großen Höhen, von mindestens 200 km bis hin zu mehreren tausenden Kilometern. Mit solchen Höhen ändert sich der Wert des Ortsfaktors (Fallbeschleunigung) g deutlich. Das kann man mit Hilfe der Integralrechnung berücksichtigen.

Ansatz


◦ W = ∫F(s)·ds

Legende


◦ F(s) = die wirkende Gravitationskraft als Funktion der Position s
◦ W = Hubarbeit, zum Beispiel in => Nm
◦ s = Hubweg (senkrecht nach oben)
◦ ∫ = Hier ein => bestimmtes Integral

Term für F(s)


◦ Der Wert für g ändert sich mit der Höhe.
◦ Er kann als Funktion des Abstand r vom Erdmittelpunkt angegeben werden.
◦ Für den Abstand r in Metern wird berechnet der Wert g in m/s² bzw. N/kg.
◦ Mit: G = 6,67 mal 10 hoch -11 m³/kg² und M = 5,98 mal 10 hoch 24 kg gilt:
◦ f(r) = G·M/r²

Integralausdruck


◦ W = ∫m·G·M·r⁻²·dr

Stammfunktion


◦ W = -m·G·M·r⁻¹
◦ W = -m·G·M:r

Legende


◦ W = Hubarbeit in => Newtonmeter
◦ m = Masse des zu hebenden Körpers in kg
◦ G = Gravitationskonstante: 6,67 mal 10 hoch -11 m³/kg²
◦ M = Masse der Erde in kg: 5,98 mal 10 hoch 24

Verwendung


◦ r ist der Abstand vom Erdmittelpunkt.
◦ Möchte man die Hubarbeit von der Erdoberfläche bis zu einer Höhe von 20 Metern berechnen, ...
◦ Setzt man für die Intergrationsgrenzen die entsprechenden Abstände als Integrationsgrenzen ein:
◦ Erdoberfläche in Metern vom Erdmittelpunkt = untere Integrationsgrenze: r = 6380000
◦ Endhöhe nach Hub in m vom Erdmittelpunkt = obere Intergrationsgrenze: r = 6380020

Beispielrechnung


◦ Eine Masse von 5 kg soll von der Erdoberfläche aus auf 20 Meter angehoben werden.
◦ Man nimmt die Stammfunktion und wenden an => erster Hauptsatz der Integralrechnung
◦ W = obere Grenze eingesetzt minus untere Grenze eingesetzt:
◦ Obere Grenze: W = 5 kg · 6,67 mal 10 hoch -11 m³/kg² · 5,98 mal 10 hoch 24 durch 6380020
◦ Untere Grenze: W = 5 kg · 6,67 mal 10 hoch -11 m³/kg² · 5,98 mal 10 hoch 24 durch r = 6380000
◦ Obere Grenze ausgerechnet ≈ 312589929
◦ Untere Grenze ausgerechnet ≈ 312590909
◦ W = oben minus unten ≈ -980 Nm

Kontrollrechnung


◦ Für den oberflächennahen Bereich bleibt g in etwa konstant.
◦ Man kann alternativ die Hubarbeit auch berechnen über: m·g·h
◦ Das gäbe für 5 kg und 20 Meter: 5 kg · 10 N/kg · 20 m = 1000 Nm
◦ Vom Betrag her passen -980 Nm und 1000 Nm sehr gut zusammen.
◦ Die Formel für das Integral scheint gut zu sein.

Was bedeuet das minus?


◦ Das besagt, dass man die Arbeit zuführen muss.
◦ Man kann das Minuszeichen weglassen und den Betrag benutzen.
◦ Solange physikalisch klar ist, ob man die Arbeit hineinsteckt oder herausbekommt.

Siehe auch


=> Bestimmtes Integral berechnen
=> g als Funktion der Höhe
=> Astronautenlexikon
=> Integralrechnung
=> Newtonmeter
=> Hubarbeit
=> Arbeit
=> Ncm
=> Nm





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