Halbwertszeit berechnen
Exponentialfunktion
Basiswissen
Die Halbwertszeit ist die Zeit, in der sich der Bestand einer bestimmten Größe genau halbiert hat. Bei vielen Prozessen ist diese Zeit immer die Gleiche, also konstant. Man bezeichnet solche Prozesse als eine exponentielle Abnahme. Hier wird erklärt, wie man sie berechnet, wie das mit einer erweiterten Exponentialfunktion modelliert wird.
Die erweiterte Exponentialfunktion
- f(x) = a·b^x
Legende
- f(x) = Wieviel nach x Schritten vorhanden ist, der Bestand ↗
- a = Der Bestand beim Schritt x=0, der Anfangsbestand ↗
- b = (alter y-Wert) mal b = (neuer y-Wert), wenn x um eins zunimmt Änderungsfaktor ↗
- x = Exponent, Anzahl der Schritte, die b zur Wirkung kommt,
Lösungsidee zur Berechnung der Halbwertszeit
Man setzt gedanklich für den Anfangsbestand a die Zahl 1 ein. Dann setzt man für den Bestand f(x) die Hälfte vom Anfangsbestand, also 0,5 ein. Wenn man jetzt nach x auflöst, erhält man die Anzahl der Schritte beziehungsweise die Zeit, bis der Bestand sich auf die Hälfte verringert hat. Das ist die Halbwertszeit:
1. Schritt
- f(x) = 0,5 setzen:
- 0,5 = a*b^x
2. Schritt
- a weglassen (gedacht 1)
- 0,5 = b^x
3. Schritt
- x = Logarithmus von 0,5 zur Basis b
4. Schritt
Interpretieren: Mit dem Taschenrechner erhält man einen Zahlenwert für x. Dieser Zahlenwert sagt, wie viele x-Schritte nötig sind, bis sich der Bestand halbiert hat. Je nach Aufgabenstellung kann das x direkt für ganze Stunden, Tage oder Jahre stehen. Es kann aber auch für zum Beispiel 20 Minuten oder andere Zeiträume stehen. Hier ist also eventuell am Ende noch eine Interpretation nötig.
Was genau ist die Halbwertszeit?
Ein Stickstoffatom mit genau 13 Kernbausteinen nennt man kurz auch 13N. Dieses Atom bezeichnet mal als instabil. Ohne dass man einen äußeren oder inneren Anlaß erkennt, zerfällt ein solche Atom nach einiger Zeit. Beobachtet man eine große Anzahl solcher Atome, dann wird man folgende Gesetzmäßigkeit festellen: immer nach etwa 10 Minuten sind nur noch halb so viele Atome vorhanden, wie am Anfang der zehn Minuten. Diese Zeitdauer, in der etwas um die Hälfte weniger wird, ist die sogenannte Halbwertszeit ↗
Wie bestimmt man eine Funktionsgleichung?
Der hier beschriebene Lösungsweg setzt voraus, dass man eine Funktionsgleichung gegeben hat. Hat man eine solche Gleichung nicht gegeben, kann man sie oft aus bekannten Datenpunkten selbst aufstellen. Siehe dazu die Anleitung zur Exponentialgleichung aus zwei Punkten ↗