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Grenzwertsatz für stochastische Matrizen


Stochastische Prozesse haben oft eine stabile Verteilung


Kurzinfo


In der Mathematik, Physik oder Chemie: kurze Erklärung von Fachworten, Symbolen und Formeln

Grenzmatrix


◦ Gegeben ist eine stochastische Matrix U.
◦ Gegeben ist auch ein Vektor für eine Anfangsverteilung X.
◦ Gibt es eine Potenz von U bei der mindestens eine Zeile ...
◦ nur strikt positive Werte hat (0 ist also auch verboten) ...
◦ dann konvergieren die Potenzen von U gegen eine Grenzmatrix.
◦ Bei dieser Grenzmatrix sind dann alle Spalten gleich.

Grenzwerteilung


◦ Die überall gleichen Spalten der Grenzmatrix sind identisch mit dem Grenzvektor.
◦ Der Grenzvektor beschreibt die stabile Verteilung.
◦ Bei weiteren Übergängen ändert sich an dieser Verteilung nichts mehr.

Berechnung mit TR


◦ Mit einem Taschenrechner kann man einfach sehr hohe Potenzen der Übergangsmatrix eingeben.
◦ Wenn irgendwann alle Spalten der potenzierten Maxtrix so gut wie gleich sind, hat man die Grenzmatrix.
◦ Erhöht man die Potenz dann weiter, ändert sich an der Matrix nichts mehr, die Zahlenwerte bleiben konstant.

Berechnung mit Gleichung


◦ Für die stabile Verteilung muss gelten:
◦ U*X=X mit U als Übergangsmatrix und X als Verteilungsvektor.
◦ Ferner gilt die Nebenbedingung, dass die Summe aller Spalteneinträge immer eins ergibt.

Sonstiges


◦ Die Grenzmatrix und die Grenzverteilung hängen nicht von der Anfangsverteilung (Startvektor) ab.

Siehe auch


=> Versuch stationäre Verteilung
=> Stationäre Verteilung
=> Stochastische Matrix
=> Matrizenrechnung
=> Grenzmatrix
=> Fixvektor





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