Grenzwertsatz für stochastische Matrizen
Stochastische Prozesse haben oft eine stabile Verteilung
Basiswissen
In der Mathematik, Physik oder Chemie: kurze Erklärung von Fachworten, Symbolen und Formeln
Grenzmatrix
◦ Gegeben ist eine stochastische Matrix U.
◦ Gegeben ist auch ein Vektor für eine Anfangsverteilung X.
◦ Gibt es eine Potenz von U bei der mindestens eine Zeile ...
◦ nur strikt positive Werte hat (0 ist also auch verboten) ...
◦ dann konvergieren die Potenzen von U gegen eine Grenzmatrix.
◦ Bei dieser Grenzmatrix sind dann alle Spalten gleich.
Grenzwerteilung
◦ Die überall gleichen Spalten der Grenzmatrix sind identisch mit dem Grenzvektor.
◦ Der Grenzvektor beschreibt die stabile Verteilung.
◦ Bei weiteren Übergängen ändert sich an dieser Verteilung nichts mehr.
Berechnung mit TR
◦ Mit einem Taschenrechner kann man einfach sehr hohe Potenzen der Übergangsmatrix eingeben.
◦ Wenn irgendwann alle Spalten der potenzierten Maxtrix so gut wie gleich sind, hat man die Grenzmatrix.
◦ Erhöht man die Potenz dann weiter, ändert sich an der Matrix nichts mehr, die Zahlenwerte bleiben konstant.
Berechnung mit Gleichung
◦ Für die stabile Verteilung muss gelten:
◦ U*X=X mit U als Übergangsmatrix und X als Verteilungsvektor.
◦ Ferner gilt die Nebenbedingung, dass die Summe aller Spalteneinträge immer eins ergibt.
Sonstiges
◦ Die Grenzmatrix und die Grenzverteilung hängen nicht von der Anfangsverteilung (Startvektor) ab.
