Grenzwertsatz für stochastische Matrizen
Stabile Verteilung
Basiswissen
Stochastische Prozesse haben oft eine sogenannte stabile Verteilung. Kennt man die stochastische Matrix des Prozesses kann man darüber beurteilen, ob der Prozess irgendwann eine stabile Verteilung annimmt, die Verteilung sich also nicht mehr verändert. Das ist hier ausführlich erklärt.
Grenzmatrix
- Gegeben ist eine stochastische Matrix U.
- Gegeben ist auch ein Vektor für eine Anfangsverteilung X.
- Gibt es eine Potenz von U bei der mindestens eine Zeile ...
- nur strikt positive Werte hat (0 ist also auch verboten) ...
- dann konvergieren die Potenzen von U gegen eine Grenzmatrix.
- Bei dieser Grenzmatrix sind dann alle Spalten gleich.
Grenzverteilung
- Die überall gleichen Spalten der Grenzmatrix sind identisch mit dem Grenzvektor.
- Der Grenzvektor beschreibt die stabile Verteilung.
- Bei weiteren Übergängen ändert sich an dieser Verteilung nichts mehr.
Berechnung mit TR
- Mit einem Taschenrechner kann man einfach sehr hohe Potenzen der Übergangsmatrix eingeben.
- Wenn irgendwann alle Spalten der potenzierten Maxtrix so gut wie gleich sind, hat man die Grenzmatrix.
- Erhöht man die Potenz dann weiter, ändert sich an der Matrix nichts mehr, die Zahlenwerte bleiben konstant.
Berechnung mit Gleichung
- Für die stabile Verteilung muss gelten:
- U·X=X mit U als Übergangsmatrix und X als Verteilungsvektor.
- Ferner gilt die Nebenbedingung, dass die Summe aller Spalteneinträge immer eins ergibt.
Sonstiges
- Die Grenzmatrix und die Grenzverteilung hängen nicht von der Anfangsverteilung (Startvektor) ab.