Globaler Extrempunkt
Analysis
Definition
Es gibt keinen höheren oder tieferen Punkt: ein Punkt auf einem Funktionsgraphen, für den es keinen höheren oder tieferen Punkt sonstwo auf dem Graphen gibt ist ein globaler Extrempunkt.
Global
- Global heißt wörtlich übersetzt so viel wie: weltweit, überall
- Für Funktionsgraphen heißt es: im gesamten Definitionsbereich.
- Der Definitionsbereich sind alle erlaubten x-Werte.
- Ist nichts anderes angegeben, meint das: von minus bis plus unendlich.
Extrempunkt
- Ein Extrempunkt ist jeder Punkt, der in einer beliebig kleinen Umgebung der höchste oder tiefste Punkt ist.
- Das muss aber nicht automatisch der höchste oder tiefste Punkt eines Graphen sein.
- Beispiel: der Graph von f(x)=x³-x² hat bei (0|0) einen Hochpunkt.
- In seiner Umgebung ist das der höchste Punkt.
- Aber schon für x=2 erhält man höherer Punkt, z. B. (2|4).
- Ein Extrempunkt muss also nicht der höchste oder tiefste Punkt des ganzen Graphen sein.
Globaler Extrempunkt
- Ein Punkt, der im gesamten Definitionsbereich extrem ist heißt globaler Extrempunkt.
- Ein globaler Extrempunkt ist automatisch immer auch ein lokaler Extrempunkt.
- Lokal meint: der Punkt ist auf jeden Fall in seiner näheren Umgebung ein Extrempunkt.
- Aber nicht jeder lokale Extrempunkt ist automatisch auch ein globaler Extrempunkt.
Bestimmung
- Falls Graph vorhanden, dort ablesen.
- Rechnerisch: lokale Extrempunkte über 1. Ableitung bestimmen
- Dann: Randverhalten untersuchen
- Mehr unter globalen Extrempunkt berechnen ↗
