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Gleichungen formal lösen


Anleitungen


Basiswissen


Nach starren Rechenregeln, schematisch, mit einem Algorithmus: eine Gleichung formal zu lösen heißt, dass man ein Verfahren benutzt, das ohne Ausnahme immer genau auf dieselbe Weise angewendet wird. Hier stehen Beispiele zu solchen formalen Lösungsverfahren.

Was meint überhaupt "Gleichung lösen"?


Bei einer Gleichung hat man immer ein Gleichheitszeichen. Links und rechts vom Gleichhheitszeichen stehen dann Rechenausdrücke (Terme), oft mit einem x dabei. Hier ist ein Beispiel: 4x=12. Das x nennt man auch Platzhalter, Variable oder Unbekannte. Für das x darf man erst einmal jede Zahl einsetzen. Bei manchen Zahlen geht die Gleichung dann richtig auf, bei anderen nicht. Setzt man die 2 ein, kommt links eine 8 heraus. 8 ist aber nicht 12, also geht die Gleichung nicht auf. Setzt man aber die 3 ein, kommt auch links die 12 heraus. Jetzt geht die Gleichung auf. Eine Zahl, die man für x einsetzen kann, sodass die Gleichung aufgeht, heißt "Lösung" der Gleichung.

Warum probiert man nicht immer einfach nur?


Ja. Bei einfachen Gleichungen sieht man das Ergebnis oft sofort. Einfach wäre zum Beispiel 4x=20. Bei etwas schwereren muss man ein Bißchen überlegen. Etwas schwerer wäre zum Beispiel 4x+18=56. Es gibt aber auch richtig schwere wie 70x-45=10x-150. Auch hier könnte man probieren, aber es würde sehr lange dauern. Bei sehr schwierigen Gleichungen lässt man sogar Computer rechnen. Selbst schnelle Computer brauchen dann manchmal mehrere Stunden oder sogar Tage. Also: probieren ginge theoretisch immer, kann aber sehr lange dauern. Wenn das der Fall ist, kann man die Gleichungen auch formal lösen.

Was meint "formal" lösen?


Formal lösen meint vor allem erst einmal, dass man nicht probiert. Man setzt für x erst einmal keine Zahlen ein, um zu prüfen ob es aufgeht. Stattdessen vereinfacht man die Gleichung so lange, bis man sie durch probieren lösen kann oder sofort das Ergebnis sieht. Zum formalen Lösen benutzt man sogenannte "Äquivalenzumformungen". Das sind Rechenumfungen, die ich mit beiden Seiten der Gleichung machen darf. Mit Übung findet man dann immer Äquivalenzumformungen, mit denen man schnell die Lösung findet.

Welche Äquivalenzumformungen sind erlaubt?


Wie sieht ein Beispiel aus?



Wie geht es weiter?


Wenn du erkannt hast, dass man manche Gleichungen kaum mehr durch probieren lösen kann, und dass es formal viel schneller geht, dann solltest du jetzt lernen, wie man die besten Äquivalenzumformungen findet.