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Gerdenschnittpunkte über Vektorrechnung


Anzahl und Bestimmung


Wie im Zweidimensionalen, gibt es auch im Dreidimensionalen verschiedene Möglichkeiten, wie viele Schnittpunkte zwei Geraden haben.

Wie viele Schnittpunkte kann es geben?


◦ Keinen: die Geraden sind zueinander => windschief
◦ Keinen: die Geraden sind => echt parallel
◦ Genau 1: nicht parallel und nicht windschief
◦ Unendlich viele: die geraden sind => identisch

Wie berechnet man die Schnittpunkte?


◦ Man hat zwei Geraden in der => Paramterform der Geraden
◦ Man setzt die beiden Terme auf der rechten Seite gleich.
◦ Man schreibt die drei Komponenten übereinander als Gleichungsystem.
◦ Man hat dann drei Gleichungen und zwei Unbekannte (die zwei Parameter).
◦ Man wählt zwei der drei Gleichungen aus, egal welche.
◦ Damit bestimmt man die zwei unbekannten Parameter.
◦ Siehe dazu => LGS mit zwei Gleichungen lösen
◦ Man setzt die Lösung in die dritte, noch unbenutzte Gleichung ein.
◦ Das Ergebnis muss man jetzt noch interpretieren.

Kein Schnittpunkt


◦ Beim LGS mit zwei Gleichungen entsteht eine falsche Aussage:
◦ Beispiel: es entsteht etwas wie 1=0 oder 3=3.
◦ Dann haben die zwei geraden keinen Schnittpunkt.

Genau 1 Schnittpunkt


◦ Beim LGS erhält man Zahlenwerte für die zwei Parameter.
◦ Diese setzt man in die dritte bisher unbenutzte Gleichung ein.
◦ Wenn diese dadurch eine wahr Aussage ergibt, gibt es genau einen Schnittpunkt.
◦ Man setzt dann einen der beiden Parameter in die dazu passende Geradengleichung ein.
◦ Dies liefert den Schnittpunkt der zwei Geraden.

Identisch


◦ Das LGS führt zu einer immer wahren Aussage wie 0=0.
◦ Dasselbe passiert, wenn man zwei andere der drei Gleichungen auswählt.

Siehe auch


=> LGS mit zwei Gleichungen lösen => qck
=> Windschiefe Geraden
=> Vektorrechnung





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