Gerdenschnittpunkte über Vektorrechnung
Anzahl und Bestimmung
Basiswissen
Wie im Zweidimensionalen, gibt es auch im Dreidimensionalen verschiedene Möglichkeiten, wie viele Schnittpunkte zwei Geraden haben.
Wie viele Schnittpunkte kann es geben?
- Keinen: die Geraden sind zueinander windschief ↗
- Keinen: die Geraden sind echt parallel ↗
- Genau 1: nicht parallel und nicht windschief
- Unendlich viele: die geraden sind identisch ↗
Wie berechnet man die Schnittpunkte?
- Man hat zwei Geraden in der Parameterform der Geraden ↗
- Man setzt die beiden Terme auf der rechten Seite gleich.
- Man schreibt die drei Komponenten übereinander als Gleichungsystem.
- Man hat dann drei Gleichungen und zwei Unbekannte (die zwei Parameter).
- Man wählt zwei der drei Gleichungen aus, egal welche.
- Damit bestimmt man die zwei unbekannten Parameter.
- Siehe dazu LGS mit zwei Gleichungen lösen ↗
- Man setzt die Lösung in die dritte, noch unbenutzte Gleichung ein.
- Das Ergebnis muss man jetzt noch interpretieren.
Kein Schnittpunkt
- Beim LGS mit zwei Gleichungen entsteht eine falsche Aussage:
- Beispiel: es entsteht etwas wie 1=0 oder 3=3.
- Dann haben die zwei geraden keinen Schnittpunkt.
Genau 1 Schnittpunkt
- Beim LGS erhält man Zahlenwerte für die zwei Parameter.
- Diese setzt man in die dritte bisher unbenutzte Gleichung ein.
- Wenn diese dadurch eine wahr Aussage ergibt, gibt es genau einen Schnittpunkt.
- Man setzt dann einen der beiden Parameter in die dazu passende Geradengleichung ein.
- Dies liefert den Schnittpunkt der zwei Geraden.
Identisch
- Das LGS führt zu einer immer wahren Aussage wie 0=0.
- Dasselbe passiert, wenn man zwei andere der drei Gleichungen auswählt.