WH54 Fachwortlexikon
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Gemeinsamen Punkt einer Kurvenschar berechnen


Erklärung | Beispiel


Basiswissen


Schritt-für-Schritt-Anleitung

Verfahren


◦ Der Scharparameter sei hier a genannt.
◦ Ein gemeinsamer Punkt muss für unterschiedliche Parameterwerte gelten.
◦ Das heißt, zum Beispiel für a=3 und a=4 muss es einen Punkt mit gleichem x- und y-Wert geben.
◦ Das formuliert man mathematisch allgemein so:
◦ f(x) mit Parameter a muss gleich f(x) mit Parameter b sein.
◦ Man setzt die zwei Funktionsterme dann gleich.
◦ Durch die Gleichsetzung entsteht eine Gleichung mit a, b und x aber ohne y.
◦ Man löst diese Gleichung nach x auf. Dabei kann man a und b eliminieren.
◦ Eliminieren meint hier: es gibt eine Umformung durch die a und b verschwinden.
◦ Beispiel: x(2a-2b)=0
◦ Wenn - wie gefordert - a und b unterschiedlich sind, dann ...
◦ ist der Klammerterm immer auch ungleich 0.
◦ Man darf dann also auf beiden Seiten durch den Klammerterm teilen.
◦ Genau durch diese Äquivalenzumformung verschwinden mit der Klammer a und b.
◦ Verschwinden a und b, dann gibt es einen gemeinsamen Punkt, ansonsten nicht.
◦ Den Term für den x-Wert setzt man in f(x) mit beliebig gewähltem Parameterwert ein.
◦ Das ist der y-Wert.

Beispiele


◦ Betrachtet werden soll die Funktionsschar f(x)=ax².
◦ Parameter a und b unterscheiden und gleichsetzen gibt:
◦ ax²=bx²| jetzt Gleichung in Normfalform bringen:
◦ ax²-bx²=0 | jetzt x² ausklammern, also faktorisieren:
◦ x²(a-b)=0 | jetzt Satz vom Nullprodukt anwenden:
◦ Gleichung geht auf, wenn x=0 ist oder a und b gleich sind.
◦ Dass a und b gleich sind, wurde am Anfang verboten.
◦ Die zweite Lösung der Gleichung wäre, dass x=0 ist.
◦ Das ist also der x-Wert des gemeinsamen Punktes.
◦ Einsetzen in f(x) liefert den y-Wert: 0
◦ Also ist der gemeinsame Punkt: (0|0)

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