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Gauß-Funktion


Mathematische Funktion für normalverteilte Zufallsdaten


Gleichung


φ(x) = [Wurzel aus (2·π·σ²)] · e hoch [-0,5·(x-μ)²/σ²]

Legende


◦ φ = Name der Funktion => kleines phi
◦ μ = kleines mü, der => Erwartungswert
◦ π = etwa 3,14, die => Kreiszahl
◦ σ = kleines sigma, die => Standardabweichung
◦ σ² = ist die => Varianz

Graph


◦ Der Graph heißt umgangssprachlich => Glockenkurve
◦ Fläche unter Kurve ist die Wahrscheinlichkeit für x-Werte im x-Intervall

Zweck


Die Gauß-Funktion kann benutzt werden, um binomialverteilte Zufallsgrößen (z. B. Anzahl Sechser bei n Würfel-Würfen) als eine stetige und damit auf- und ableitbare Funktion zu beschreiben. Bei der eigentlichen Binomialverteilung als Ergebnis einer Bernoulli-Kette gibt es auf der x-Achse nur stetige Werte, nämlich feste Anzahlen für die Trefferzahl k. Als x-Werte möglich sind nur natürliche Zahlen wie 0, 1, 2, 3 und so weiter. Für k keinen Sinn würde eine echte Kommazahl wie 2,3 machen. Man nennt das auch diskret. Diese Tatsache passt zu dem Fakt, dass der Graph einer Binomialverteilung aus einer Bernoulli-Kette als Säulendiagramm dargestellt wird und nicht als stetige Kurve. Auf ein Säulendiagramm kann man aber nicht den ganzen Apparat der Analysis anwenden. Vor allem kann man nicht auf- und ableiten. Um das zu können, modelliert man oft Säulendiagramme als stetige Funktionen. Für den Fall einer langen Bernoulli-Kette (großes n) berechnet man zunächst σ und μ und setzt sie als Zahlenwert in φ(x) ein. Damit hat man dann eine auf- und ableitbare Funktion, die einigermaßen gut auch lange Bernoulli-Ketten modelliert.

Wahrscheinlichkeiten


Man kann mit der Gaußfunktion keine Wahrscheinlichkeiten für genaue Trefferzahlen k einer Bernoulli-Kette berechnen. Man kann nur Wahrscheinlichkeiten "von-bis" oder "zwischen" berechnen, etwa die Wahrscheinlichkeit für eine Trefferzahl 3≤x≤5. Diese Wahrscheinichkeit entspricht der Fläche unter der Kurve vom linken Rand 3 bis zum rechten Rand 5. Berechnet wird sie über ein Integral.

Siehe auch


=> Normalverteilungen [sehr gut passende Daten]
=> Normalverteilung [Übersicht]
=> Echte Kommazahl
=> Bernoulli-Kette
=> Säulendiagramm
=> Diskret
=> Stetig
=> Gauß





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