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Gauß-Algorithmus

Methode zum Lösen von linearen Gleichungssystemen | Aufgaben dazu unter => qck

Einführung

Als lineares Gleichungssystem - kurz LGS - bezeichnet man mehrere lineare Gleichungen für die man eine gemeinsame Lösung sucht. Für zwei lineare Gleichungen gibt es dafür einfache Verfahren (Einsetzungsverfahren, Gleichsetzungsverfahren, Additionsverfahren). Besteht ein LGS aber aus drei oder noch mehr einzelnen Gleichungen, dann werden dise Verfahren sehr unübersichtlich. Als Alternative verwendet man dann den Gauß-Algorithmus. Der Gauß-Algorithmus ist eine starre Abfolge von Einzelschritten, die immer alle Lösungen eines LGS finden (falls es welche gibt). Was ein LGS genau ist steht unter => Lineares Gleichungssystem

Algorithmus

In der Schulmathematik wird der Algorithmus meistens an einem LGS mit drei Gleichungen erklärt. Man nummeriert die Gleichungen von oben nach unten mit römischen Zahlen (I, II, III) durch und schreibt die Gleichungen übereinander. Man bringt dann alle Gleichungen in eine vorgegebene Form: ax+by+cz=d. Dabei sind a, b, c und d tatsächlich ausgeschriebene Zahlen. x, y und z sind die Unbekannten. Ab hier folgt der Algorithmus dann immer denselben Schritten:

Beispiel

I 2x + 1y + 1z = 11
II 2x + 2y + 2z = 18
III 3x + 2y + 3z = 24

◦ Hier heißen die Unbekannten x, y und z.
◦ Sie könnten aber auch andere Namen haben.

Wichtig ist:

◦ Ganz links steht in jeder Zeile das x mit seinem Koeffizienten (Vorfaktor).
◦ Dann kommt das y, dann das z, dann das Gleichzeichen, ...
◦ und rechts vom Gleichzeichen steht die Zahl ohne Unbekannte.
◦ In jeder der drei Gleichungen kommen die selben drei Unbekannten vor.

Vorbereitung

◦ Man lässt bein Aufschreiben alle Unbekannten weg.
◦ Dann bleiben nur noch die Zahlen (Koeffizienten) übrig.
◦ Das spart Schreibarbeit und macht alles übersichtlicher.
◦ Das gibt die Koeffizientenmatrix:

2 1 1 11
2 2 2 18
3 2 3 24

Was ist das erste Ziel?

◦ Das erste Ziel des Algorithmus ist die Stufenform.
◦ Die Stufenform heißt oft auch Dreiecksform:

* * * *
0 * * *
0 0 * *

◦ In der zweiten Zeile steht dann links eine Null.
◦ In der dritten Zeile stehen links zwei Nullen.
◦ Die anderen Zahlen sind ganz egal.

Wie geht man vor?

Um das LGS in die Stufenform zu bringen, darf man immer..

◦ alle Zahlen in einer Zeile mit der selben Zahl durchmultiplizieren,
◦ alle Zahlen in einer Zeile durch die selbe Zahl teilen,
◦ alle Zahlen aus einer Zeile zu den Zahlen einer anderen Zeile addieren,
◦ alle Zahlen von einer Zeile von den Zahlen einer anderen Zeile abziehen.

Das Verfahren im Überblick

1. Falls Brüche vorhanden sind, diese über Multiplikation mit Hauptnenner beseitigen.
2. Mache über Multiplikation alle Zahlen der ersten Spalte (von oben nach unten) gleich.
2. Schreibe die oberste Zeile neu auf (ohne Änderung)
3. Dann: Zweite Zeile minus erste Zeile, kurz: II-I
4. Dann: Dritte Zeile minus erste Zeile, kurz: III-I
6. Mache über Multiplikation in II und III die Zahlen der zweiten Spalte gleich.
7. Dann: von dritter Zeile die zweite abziehen, kurz: III-II
8. Jetzt ist die Stufenform erreicht, schreibe alles neu hin.

Für das LGS oben kommt raus:

x y z
6 3 3 33
0 3 3 21
0 0 6 24

9. Schreibe jetzt alles mit Unbekannten hin:

I 6x + 3y + 3z = 33
II 0x + 3y + 3z = 21
III 0x + 0y + 6z = 24

10. Rückwärtseinsetzen

◦ Löse III, das gibt hier: z=4
◦ Setze die Lösung für z in II ein. Bestimme dann y. Das gibt im Beispiel: y=3
◦ Setze die Lösungen für y und z in I ein. Bestimme dann x. Das gibt im Beispiel: x=2

11. Endergebnis aufschreiben

◦ x=2
◦ y=3
◦ z=4

Synonyme

=> Diagonalverfahren
=> Gauß-Algorithmus
=> Gauß-Verfahren

Siehe auch

=> Koeffizientenmatrix
=> LGS [Themenübersicht]
=> Stufenform
=> qck