Exponentialfunktion aus zwei Punkten
Lösungsmethoden
Basiswissen
Man hat zwei Punkte gegeben, etwa aus einem Funktionsgraphen. Gesucht ist eine Funktionsgleichung als Exponentialfunktion. Exponentialfunktionen gibt es in verschiedenen Varianten. Jede Variante hat einen eigenen Lösungsweg. Diese sind hier kurz vorgestellt.
Grundlegende Lösungsidee
Man hat zwei Punkte gegeben, zum Beispiel (1|2) und (4|0,5). Die linke Zahl in den Klammern ist immer der x-Werte, die rechte Zahl ist immer der y-Wert. Man setzt dann beide Punkte in den Grundbauplan der gesuchten Funktionsgleichung an die Stellen von x und y ein. Dadurch entstehen zwei Gleichungen mit Unbekannten, also ein lineares Gleichungssystem. Dieses löst man und hat am Ende alle nötigen Zalhenwerte für die Gleichung der Exponentialfunktion.
Lösung mit der erweiterten Exponentialfunktion
Dieser Lösungstyp wird in der Praxis sehr häufig verwendet. Typische Sachthemen sind der radioaktive Zerfall, ein Bevölkerungswachstum oder der Abbau von Medikamenten im Blut. Die bestimmte Funktion steht am Ende als Modell für ein exponentielles Wachstum oder eine exponentielle Abnahme:
- f(x) = a·c^x
- Gegeben (1|2) und (4|0,25)
- Es gibt zwei Unbekannte: a und c
- Beide Punkte einsetzen und dann LGS lösen.
- Ausführliche Erklärung steht auf der Seite:
Lösung mit der einfachen Exponentialfunktion
Dieser Typ kommt in der praktischen Anwendung eher selten vor. Der Grund dafür ist, dass bei dieser Funktion der Startwert immer genau Eins ist, was bei vielen Praxisfällen nicht zutrifft. In der Analysis aber wird die einfache Exponentialfunktion oft behandelt:
- f(x) = a^x
- Gegeben: (3|8) und (5|32)
- Es gibt nur eine Unbekannte: a
- Man bestimmt a mit einem der zwei Punkte.
- Mit dem anderen Punkte macht man dann eine Probe.
- Ersten Punkte einsetzen:
- 8 = a^3 | dritte Wurzel
- Mögliche Lösung: f(x) = 2^x
- 2 = a | Probe mit zweitem Punkt:
- 32 = 2^5, also:
- f(x) = 2^x ✔
Lösung mit der einfachen e-Funktion
- f(x) = e^x
- Es gibt keine Unbekannte.
- Man macht lediglich mit beiden Punkten eine Punktprobe.
- Geht sie auf, ist f(x) = e^x eine passende Funktionsgleichung.
- Geht die Probe nicht auf, passt f(x) = e^x nicht.
- Siehe auch unter Punktprobe ↗
Lösung mit der allgemeinen Exponentialfunktion
- f(x) = a·c^(mx+b)
- Man hat vier Unbekannte: a, c, m und b
- Um die Gleichung eindeutig zu bestimmen benötigt man 4 Punkt.
- Diese setzte man alle ein. Es entsteht ein LGS mit vier Gleichungen.
- Dieses muss man dann lösen LGS lösen ↗