Einsetzungsverfahren

LGS

Basiswissen

Wozu

• Mit diesem Verfahren kann man gut lineare Gleichungssysteme lösen.
  

• Normalerweise hat man zwei lineare Gleichungen.
  

• In jeder Gleichung gibt es ein x und ein y.
  

• Die Lösung heißt: eine Zahl für x und eine für y finden, die für beide Gleichungen passt.
  

• Passen heißt: wenn man die Zahlen einsetzt, gehen beide Gleichungen auf.
  

Beispiele

• I Erste Gleichung: y-8 = 4x
  

• II Zweite Gleichung: 40 = 4x + 2y
  

1. Schritt

• Umstellen nach y:
  

• Man stellt eine der zwei Gleichungen um nach y, welche ist egal.
  

• Umstellen nach y heißt, das y steht dann links vom Gleichzeichen alleine.
  

• Man sucht sich die Gleichung aus, bei der das einfacher geht.
  

• Das wäre hier Gleichung I, umgestellt gibt sie: y = 4x + 8
  

2. Schritt

• Einsetzen:
  

• Schreibe die andere Gleichung (hier II) neu hin ...
  

• wo vorher aber das y war, machst du jetzt eine Klammer auf.
  

• In die Klammer schreibst du die rechte Seite von der vorher umgestellten Gleichung.
  

• Dann machst du die Klammer wieder zu. Das gibt bei unserem Beispiel:
  

• I in II eingesetzt: 40 = 4x + 2(4x+8)
  

3. Schritt

• Klammer auflösen:
  

• Die im vorherigen Schritt entstandene Klammer wird jetzt aufgelöst.
  

• Lies eventuell noch einmal nach wie das geht Klammern auflösen. (externer Link)
  

• Das gibt hier: 40 = 4x + 8x + 16
  

• In dieser Gleichung ist jetzt kein y mehr.
  

4. Schritt

• x ausrechnen:
  

• Jetzt stellst du die Gleichung von oben nach x um.
  

• Das gibt in unserem Beispiel: x = 2
  

• Diese Zahl ist der x-Teil der Lösung.
  

5. Schritt

• y ausrechnen:
  

• Am Anfang hatten wir eine Gleichung nach y umgestellt.
  

• In diese Gleichung setzt du den eben gefundenen Wert für x (die 2) ein.
  

• Damit kannst du dann den y-Wert ausrechnen.
  

• y = 4*(2) + 8, also: y=16
  

• Das ist der y-Teil der Lösung.
  

6. Schritt

• Probe:
  

• Du setzt den x-Teil und den y-Teil der Lösung in beide Gleichungen vom Anfang ein.
  

• Wenn beide Gleichungen damit aufgehen, dann hast du die richtige Lösung.
  

• Die Lösung besteht immer aus dem x-Teil und dem y-Teil.
  

7. Schritt

• Hinschreiben:
  

• Die Lösung kann man auf verschiedene Weisen aufschreiben.
  

• Hier sind zwei übliche Weisen:
  

• x=2 und y=16
  

• L = {(2|16)}
  

Tipps

• > Die Gleichungen am Anfang kann man immer vertauschen.
  

• > Das Verfahren geht sinngemäß genauso, wenn eine Gleichung nach x aufgelöst ist.
  

• > Manchmal ist das Additions- oder Gleichsetzungsverfahren einfacher.
  

• > Man nimmt immer das Verfahren, das am leichtesten geht.