Eigenvektor
Definition
Basiswissen
A·x = λ·x: eine Matrix A wird mit einem Vektor x multipliziert. Wenn man die Matrix A durch eine reelle Zahl λ ersetzen könnte, ohne dass sich dadurch der Ergebnisvektor ändert, dann ist λ ein Eigenwert der Matrix A und x ein Eigenvektor dieser Matrix.
Formel
◦ A·x = λ·x
Legende
◦ A mal x => Matrix mal Vektor
◦ λ mal x => Zahl mal Vektor
◦ A ist eine beliebige => quadratische Matrix
◦ x ist ein Vektor. Seine Höhe ist gleich der Breite von A.
◦ λ steht für eine beliebige reelle Zahl
In Worten
In Worten heißt diese Gleichung: es gibt eine reelle Zahl λ, mit der man einen Vektor multiplizieren kann und zwar so, dass dabei dasselbe Ergebnis herauskommt, wie bei der Multiplikation der Matrix A mit dem Vektor.
Anschauliche Interpretation
Multipliziert man eine Matrix A mit einem ihrer Eigenvektoren x, dann ist das Ergebnis wieder ein Vektor. Dieser Vektor ist immer kollinear wie der Ausgangsvektor x. Kollinear heißt: parallel. Der Ergebnisvektor kann aber eine andere Länge und eine andere Orientierung haben als der Ausgangsvektor x.
Verallgemeinerung: komplexen Zahlen
Die bisherige Definition war beschränkt auf reelle Zahlen als λ-Werte. Aber sowohl die Elemene der Matrix als auch λ können auch für komplexe Zahlen definiert werden. Dieser Fall wird hier aber nicht weiter untersucht.
Hat jede Matrix Eigenvektoren?
◦ Ja und nein: es kommt auf die betrachteten Zahlenbereiche an:
◦ Jede reelle Matrix hat Eigenvektoren, wenn λ komplex sein darf.
◦ Nicht jede reelle Matrix hat Eigenvektoren, wenn λ reell sein muss.
Was ist das Eigenwertproblem?
◦ Man hat eine bestimmte Matrix gegeben.
◦ Dazu sollen die möglichen Eigenwerte (und Eigenvektoren) gefunden werden.
◦ Diese Rechnung kann sehr aufwändig werden
◦ Der übliche Name ist => Eigenwertproblem
Literatur
◦ [1] Revolution in der linearen Algebra. In: Spektrum der Wissenschaft 5.20 (Mai 2020). Der Artikel stellt eine vereinfachte Berechnungsmethode vor.
◦ [2] Peter B. Denton, Stephen J. Parke, Terence Tao, Xining Zhang: Eigenvectors from eigenvalues: A survey of a basic identity in linear algebra. In: Bulletin of the American Mathematical Society. Published 2021. DOI: 10.1090/bull/1722
