Ebenengleichungen
Vektorrechnung
Basiswissen
Es gibt 6 Grundtypen von Ebenengleichungen in der Vektorrechnung (analytische Geometrie). Die Grundtypen sind hier kurz vorgestellt. Diese Formen werden hier kurz erklärt.
Kurzübersicht mit Bauplänen
- a) x = p + r·v1 + s·v2 Parameterform der Ebene ↗
- b) n·X = d Allgemeine Normalenform der Ebene ↗
- c) (X-p)·n = 0 Punkt-Normalenform der Ebene ↗
- d) X·n₀ = d Hessesche Normalenform der Ebene ↗
- e) ax + by + cz = d Koordinatenform der Ebene ↗
- f) x/xo + y/yo + z/zo = 1 Achsenabschnittsform der Ebene ↗
Kurzübersicht mit Zahlen
- a) (4|4|0)+r(-1|1|0)+s(-1|-1|1) Parameterform der Ebene ↗
- c) (X-(4|4|0))·(1|1|2)=0 Punkt-Normalenform der Ebene ↗
- e) 1x+1y+2z=8 Koordinatenform der Ebene ↗
- f) x/8+y/8+z/4=1 Achsenabschnittsform der Ebene ↗
Parameterform
- Man hat einen Stützvektor [p] ↗
- Man hat zwei Spannvektoren [v1, v2] ↗
- r und s oder Lambda und My sind die Laufparameter ↗
- Mehr unter Parameterform der Ebene ↗
Koordinatenform
- Sie sieht aus wie eine Gleichung mit drei Unbekannten.
- 4x+8y-2z=20 wäre zum Beispiele eine Ebenengleichung.
- Die Zahlen 4, 8 und -2 sind hier sogenannten Koeffizienten ↗
- Zusammen bilden sie einen sogenannten Normalenvektor ↗
- Mehr unter Koordinatenform der Ebene ↗
Punkt-Normalenform
- Man hat einen Vektor x und einen Stützvektor [p] ↗
- Außerdem hat man einen = Normalenvektor [n]
- Der Term (x-p)·n gibt immer 0 und ist ein Skalarprodukt ↗
- Mehr unter Punkt-Normalenform der Ebene ↗
Allgemeine Normalenform
- Man hat einen Vektor x und einen Stützvektor [p] ↗
- Außerdem hat man einen Normalenvektor [n]
- Das Skalprodukt n·p ergibt immer eine feste Zahl, ein Skalar ↗
- Mehr unter Allgemeine Normalenform der Ebene ↗
Hessesche Normalenform
- Man hat einen Vektor x und einen Stützvektor [p] ↗
- Außerdem hat man einen normierten Normalenvektor [n] ↗
- Dieser Vektor hat immer die Länge 1, ist also normiert ↗
- Das Skalprodukt n·p ergibt immer eine feste Zahl, ein Skalar ↗
- Die feste Zahl ist der Abstand der Ebene vom Koordinatenursprung ↗
- Mehr unter Hessesche Normalenform der Ebene ↗
Achsenabschnittsform
- x/2 + y/4 + z/2 = 1
- Die Zahlen im Nenner (unten) stehen für die Achsenabschnitte ↗
- Die Zahlen geben direkt die Spurpunkte ↗
- Mehr unter Achsenabschnittsform der Ebene ↗
Kann man die Formen ineinander umwandeln?
- Ja, das geht so gut wie immer.
- Für die 6 Grundtypen gibt es 30 Umwandlungsmöglicheiten.
- Diese sind kurz erklärt unter Ebenengleichungen umwandeln ↗