Diophantische Gleichung
Definition
Basiswissen
2x+1y-3z = 400: wenn alle vorkommenden Zahlen und alle erlaubten Lösungen nur natürliche Zahlen sind, spricht man von einer diophantischen Gleichung. Hier steht die genaue Definition.
Definition
Jede Gleichung, die links eine Null und rechts einen ganzrationalen Term, man sagt auch Polynomterm stehen hat, bei dem alle Koeffizienten nur ganze Zahlen sind nennt man diophantisch.
Erklärung
- Es dürfen mehrere Unbekannte, wie x, y und z vorkommen.
- Die Unbekannten stehen nur im Zähler, nie im Nenner.
- Die Unbekannten dürfen mit beliebigen ganzen Zahlen multipliziert werden.
- Man sagt: es sind nur ganzzahlige Koeffizienten erlaubt.
- Die Variablen dürfen hoch irgendeiner natürlichen Zahl gerechnet werden.
- Man sagt: es sind nur natürlichzahlige Exponenten der Unbekannten erlaubt.
- Als Lösungen werden nur ganze Zahlen erlaubt.
Beispiele
- x+y=10
- Mögliche Lösung: x=4 und y=6
- Mögliche Lösung: x=1 und y=9
- Mögliche Lösung: x=12 und y=-2
- Nicht erlaubt: x=9,5 und y=0,5
Sinn
Die Einschränkung, dass man nur ganzzahlige Lösungen erlaubt macht immer dann Sinn, wenn die Fragestellung aus der Wirklichkeit keine Stückelung kleiner als Eins erlaubt. So wäre es sinnlos, bei einer Gleichung zur Berechnung der Anzahl von Fahrgästen in einem Fahrstuhl die Lösung 1,3 zu akzeptieren. Akzeptabel wäre die 1 oder 2.
Besonderheit
Es ist unmöglich, mit einem sicheren Verfahren festzustellen, ob eine beliebige diophantische Gleichung überhaupt eine Lösung hat. Dies wurde 1970 von dem Russen Matijassewitsch bewiesen. Die berühmteste aller diophantischen Gleichungen ist der große Fermatsche Satz. Mehr dazu unter diophantische Unentscheidbarkeit ↗
Lösen
Diophantische Gleichungen erlauben es oft, schnell die möglichen Lösungen durch effizientes Probieren zu bestimmen. Lies mehr dazu unter Gleichungen lösen über Teilermethode ↗