WH54 Fachwortlexikon
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Differenzierbar


Eine Funktion kann abgeleitet werden


Basiswissen


Differenzieren ist in der Analysis ein anderes Wort für ableiten, also f'(x) bilden. Dies ist nicht für alle Funktionen an allen Stellen möglich. Um eine Funktion ableiten zu können, müssen bestimmte Voraussetzung erfüllt sein.

Was meint differenzieren?


◦ Innerhalb der Mathematik gehört das Wort in die Analysis.
◦ Es hat dort dieselbe Bedeutung wie das Wort ableiten.
◦ Es meint: die erste Ableitung einer Funktion bilden.
◦ Graphisch meint es: die Steigung eines Graphen ...
◦ in einem bestimmten Punkt bestimmen.

Was meint differenzierbar?


◦ Differenzierbarkeit bezieht sich auf einen Punkt auf einem Graphen.
◦ Es meint: man kann für den Punkt eindeutig eine Steigung angeben.
◦ Graphisch meint das, dass man dort eindeutig eine Tangente anlegen kann.
◦ Anschaulich sind das alle Punkte, die keine Lücke oder Knick im Graph sind.
◦ Lücken oder Knicke im Graphen sind nicht differenzierbare Stellen.
◦ Bei einer Lücke oder an einem Knick kann man keine eindeutige Steigung angeben.

Nicht differenzierbar


◦ Funktionen mit Knicken oder Lücken sind an diesen stellen nicht differenzierbar.
◦ Eine Lücke hat z. B. f(x)=1/x an der Stelle x=0, siehe unter => Normalhyperbel
◦ Knicke hat zum Beispiel die sogenannte => Zickzack-Funktion

Rechenbeispiel I


◦ Man hat die Funktion: f(x) = x²
◦ Der Punkt (3|9) liegt auf dem Graphen.
◦ Was ist die Steigung in diesem Punkt?
◦ Man leitet f(x) und erhält f'(x)=2x.
◦ x-Wert dort einsetzen gibt 2·3=6.
◦ 6 ist die Steigung im Punkt (3|9).
◦ f(x) war dort als differenzierbar.

Rechenbeispiel II


◦ Man hat die Funktion: f(x) = 1/x²
◦ Umgeformt ist das gleich: f(x) = x hoch -2
◦ Die erste Ableitung f'(x) = -2 mal x hoch -A
◦ Umgeformt ist das gleich: f'(x) = -2/(x^3)
◦ Setzt man x=0 ein in f'(x) erhält man: -2/(0)
◦ Die Division durch 0 ist aber nicht definiert.
◦ Also kann man für x=0 keine Steigung berechnen.
◦ f(x) ist an der Stelle x=0 nicht differenzierbar.

Formale Überprüfung


◦ Man überprüft die Differenzierbarkeit immer an einer Stelle.
◦ Stelle meint in der Analysis immer einen bestimmten x-Wert.
◦ Die Funktion muss an dieser Stelle stetig sein.
◦ Stetig meint: keine Lücke, kein Sprung im y-Wert.
◦ Und: der linksseitige und der rechtsseitige Grenzwert ...
◦ für den Differentialquotienten muss die gleiche Zahl ergeben.
◦ Diese zweite Bedingung meint graphisch: knickfrei.

Differenzierbare Funktion


◦ Spricht man von einer differenzierbaren Funktionen, ...
◦ dann meint man damit: dass alle Punkte im Definitionsbereich differenzierbar sind.

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