WH54 Fachwortlexikon
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Bogenlänge über Integralrechnung


∫√[1+(f'(x))²]·dx


Definition


Auf einem Funktionsgraphen (Kurve) sind zwei Punkte gegeben. Die Bogenlänge s zwischen diesen Punkten ist definiert als der Abstand des gerade gestreckt gedachten Bogens. Die Länge kann mit Hilfe eines Integrals berechnet werden.

Formel


◦ s = ∫√[1+(f'(x))²]·dx

Legende


◦ f(x) = Funktionsgleichung
◦ a = x-Wert des linken Punktes auf dem Funktionsgraphen
◦ b = x-Wert des rechten Punktes auf dem Funktionsgraphen
◦ s = Bogenlänge von x=a bis x=b
◦ ∫ = das => Integralzeichen
◦ f'(x) => erste Ableitung
◦ dx => Differential

Zahlenbeispiel


◦ f(x) = -x²+6
◦ a=1 und b=2
◦ Formel: s = ∫√[1+(f'(x))²]·dx
◦ Einsetzen: s = ∫√[1+(-2x)²]·dx
◦ Vereinfachen: s = ∫√[1+4x²]·dx
◦ Aufleiten, Grenzen einsetzen und berechnen:
◦ s ≈ 3,168

Überprüfung der Berechnung


Man kann die Plausibilität über einen maßstabsgerecht gezeichneten Funktionsgraphen überprüfen: man legt dann auf der Kurve des Graphen einen Faden zwischen die beiden Punkte, streckt den Faden und misst über ein Lineal nach.

Schwierigkeitsgrad der Berechnung


◦ Für konkrete Probleme müssen die Aufleitungen von Wurzelfunktionen bestimmt werden.
◦ Die entsprechenden Terme sind meist nicht mit einfachen Aufleitungsregeln zu bestimmen.
◦ Man schlägt entsprechend nach in Tabellen zu => Aufleitungen

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