WH54 Fachwortlexikon
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Biquadratische Gleichungen über Substitution


Bedeutung | Verfahren


Basiswissen


In der Mathematik, Physik oder Chemie: kurze Erklärung von Fachworten, Symbolen und Formeln

Was meint biquadratische Gleichung?


◦ Jede Gleichung, die man in die folgende Form bringen kann:
◦ 0 = ax^4 + bx² + c
◦ Das a darf jede reelle Zahl außer 0 sein.
◦ b und c dürfen beliebige reelle Zahlen sein.
◦ Die biquadratische Gleichung gehört zu den quartischen Gleichungen.
◦ Die quartischen Gleichungen gehören zu den ganzrationalen Gleichungen.

Was meint lösen?


◦ Das man für das x eine Zahl findet, ...
◦ mit der die Gleichung aufgeht.

Was meint Substitution?


◦ Subsitution ist ein anderes Wort für "Ersetzung".
◦ Man ersetzt das x² durch ein z.
◦ Man ersetzt das x^4 durch ein z².

Beispiel einer Substitution


◦ Man hat 0 = x^4 + x² - 20
◦ Man substituiert und dann wird daraus:
◦ 0 = z² + z - 20

Jetzt kommt die pq-Formel

◦ Durch die Substitution hat man jetzt eine quadratische Gleichung.
◦ Quadratische Gleichungen kann man immer mit der pq-Formel lösen.
◦ Mehr dazu unter => Quadratische Gleichungen über pq-Formel
◦ Beim Beispiel oben kämen als Lösungen heraus:
◦ z=4 und z=-5

Am Ende kommt die Rücksubstitution


◦ Über die pq-Formel für das z hat man Lösungen für z.
◦ Man will aber eigentlich Lösungen für das x.
◦ Dazu muss man "rücksubstitutieren".
◦ Man setzt beide z-Werte gleich x²:
◦ Also: x²=4 und x²=-5.
◦ x²=4 gibt als Lösungen -2 und 2.
◦ x²=-5 gibt keine Lösungen.

Antwort


◦ Die Gleichungen 0 = x^4 + x² - 20 ...
◦ hat die Lösugnen -2 und 2.

Siehe auch


=> Biquadratische Gleichung [Definition]
=> Biquadratische Gleichungen lösen [Übersicht]
=> qck






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