Beweis Satz des Thales

Geometrie

Basiswissen

1. Thalesdreieck

• Zeichne eine waagrechte Strecke (etwa 10 cm).
  

• Beschrifte den linken Randpunkt A und den rechten B.
  

• Bestimme die Mitte M dieser Strecke und beschrifte sie.
  

• Steche einen Zirkel mit der Spitze in M ein.
  

• Stelle den Stift auf eine der Ecken ein.
  

• Ziehe einen Halbkreis von A nach B.
  

• Markiere irgendwo darauf einen Punkt.
  

• Beschrifte ihn mit einem große C.
  

• Verbinde A mit C und auch B mit C.
  

• ABC ist nun ein Thalesdreieck.
  

• Der rechte Winkel ist bei C.
  

2. Gleichschenklige Dreiecke

• Ziehe eine Verbindungslinie von M nach C.
  

• Das zerlegt das Thalesdreieck in zwei Dreiecke.
  

• Die zwei neuen Dreiecke sind beide gleichschenklig.
  

• Im Dreieck AMC sind die Seiten AM und MC gleich lang.
  

• Denn: sie haben als Länge beide den Radius des Halbkreises.
  

• Im Dreieck MBC sind die Seiten MB und MC gleich lang.
  

• Die Begründung ist analog zu der vom linken Dreieck.
  

3. Winkel eintragen

• Zuerst zwei Winkel im Dreieck AMC:
  

• Nenne den Winkel bei A kleines alpha ↗
  

• Nenne den Winkel bei C kleines alpha ↗
  

• Jetzt zwei Winkel im Dreieck MBC:
  

• Nenne den Winkel bei B kleines beta ↗
  

• Nenne den Winkel bei C kleines beta ↗
  

4. Zwischenbegründung

• Die Dreiecke AMC und MBC sind gleichschenklig.
  

• Ein gleichschenkliges Dreieck hat zwei gleich lange Seiten.
  

• Die dritte Seite darf - muss aber nicht - genauso lang sein.
  

• Die dritte Seite in so einem Dreieck heißt Basis.
  

• Die Winkel an den Enden der Basis sind immer gleich groß.
  

• Daher haben sie in der Skizze auch dieselbe Beschriftung.
  

• Im linken Dreieck heißen sie alpha, im rechten beta.
  

• Mehr dazu unter Basiswinkelsatz ↗
  

5. Winkelsumme nutzen

• Für jedes beliebige Dreieck gilt:
  

• Die drei Innenwinkel zusammen geben immer 180 Grad.
  

• Man nimmt das große Dreieck ABC und addiert die Innenwinkel:
  

• Das gibt: alpha + beta + (alpha+beta) = 180 Grad
  

• Auflösen gibt: alpha + beta = 90 Grad
  

• alpha + beta ist auch genau der Winkel bei C.
  

6. Schluss

• Also gilt immer: dieser Winkel ist 90 Grad.
  

• Also ist jedes solche Dreieck rechtwinklig.