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Bernoulli-Kette Trefferzahl berechnen

Wie man eine genau Anzahl von Treffern berechnen kann

Zu Bernoulli-Ketten gibt es verschiedene Fragestellungen. Die einfachste Frageart ist: Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass man bei einem n-stufigen Versuch genau k Treffer kriegt. Es ist offensichtlich, dass n und k natürliche Zahlen sein müssen und dass k nicht größer als n sein darf. Zur Bestimmung gibt es mehrere Methoden:

Baumdiagramm

Man zeichnet den ganzen n-stufigen Versuch als Baumdiagramm. Bei einem 3-stufigen Versuch verzweigt das Diagramm dabei in 8 Ausgänge, bei einem 4-stufigen Versuch in 16 und bei einem 5-stufigen Versuch in 32 Ausgänge. Sinnvoll sind Baumdiagramm bis vielleicht 3 oder 4 Stufen. Danach wird es zu aufwändig. Denke beim Baumdiagramm daran, dass man nach der Summenregel die Wahrscheinlichkeiten aller passenden Ausgänge zusammenaddieren muss.

Formel

Es gibt eine Formel, mit der man direkt die Wahrscheinlichkeit für k Treffer bei n Wiederholungen berechnen kann. Diese Formel findet man meistens unter dem Stichwort Binomialverteilung. Man könnte sie auch Bernoulli-Formel nennen, aber das ist unüblich:

P(X=k) = [n über k] * [p hoch k] * [(1-p) hoch (n-k)]
P(X=k) = Wahrscheinlichkeit für k Treffer bei n Wiederholungen
n = Länge der Kette, Anzahl der Wiederholungen
k = Anzahl der Treffer
p = Wahrscheinlichkeit für Treffer bei einem Versuch

Tabellen

Da die obige Formel immer noch recht aufwändig zu handhaben ist, gibt es in vielen Formelsammlungen auch Tabellen mit fertigen Ergebnissen. Die Tabellen sind strukturiert nach verschiedenen Wahrscheinlichkeite für die Trefferwahrscheinlichkeit p, verschiedene Längen n der ganzen Bernoulli-Ketten und verschiedene gewünschte Anzahlen k von Treffern.

Siehe auch

=> Bernoulli-Kette [Hauptseite]
=> qck