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Allgemeine Form in Scheitelpunktform über QE


Schritt-für-Schritt Anleitung


Basiswissen


Eine quadratische Funktion in allgemeiner Form f(x)=4x²-24x+32 wird umgeformt in die Scheitelpunktform: f(x)=4·(x-3)²-4. Wie das mit Hilfe der quadratischen Ergänzung (QE) geht wird hier in kleinen Schritten erklärt.

Worum geht es hier?



Was ist das Ziel?



Wie geht das?


1. Ausklammern
1. Faktor vor dem x² ausklammern:
1. Gegeben ist: f(x) = 4x² - 24x + 32
1. Zum Ausklammern eine eckige Klammer benutzen:
1. Gibt: 4·[x²-6x+8], siehe eventuell unter ausklammern ↗
1. Falls vor dem x² nur ein - steht, dann die -1 ausklammern
1. Falls vor x² nichts steht, Schritt 1 überspringen.

2. Quadratische Ergänzung
2. Bisheriger Stand: f(x) = 4·[x²-6x+8]
2. Zahl vor x (hier die 6) halbieren und quadrieren gibt: 9
2. Diese Zahl neun ist die quadratische Ergänzung QE.
2. Die Funktionsgleichung notieren bis zum linearen Glied:
2. f(x) = 4·[4x²-6x
2. Die QE (hier die 9) einmal mit + und einmal mit - anfügen:
2. f(x) = 4·[4x²-6x+9-9
2. Dann am Ende das absolute Glied (Teil ohne x) anfügen:
2. 4·[x²-6x+9-9+8
2. Und die eckige Klammer schließen:
2. 4·[x²-6x+9-9+8]

3. Einklammern
3. Nun wird aus den ersten drei Gliedern der eckigen Klammer ...
3. eine runde Klammer mit Quadrat gemacht. Das geht immer so:
3. Hinter der eckigen Klammer sofort eine runde Klammer aufmachen: 4[(
3. Hinter die runde Klammer immer und sofort ein blankes x schreiben: 4[(x
3. Dann die Zahl vor dem x aus Schritt zwei mit Vorzeichen halbieren ...
3. und diese Hälfte mit Vorzeichen anfügen: 4[(x-3
3. Runde Klammer zumachen und quadrieren: 4[(x-3)²
3. Zweite und dritte Zahl nach dem x aus Schritt 2 ...
3. mit Vorzeichen anfügen: 4[(x-3)²-9+8
3. Eckige Klammer zumachen: 4[(x-3)²-9+8]
3. Strichrechnung (plus/minus) in eckiger Klammer ausführen: 4[(x-3)²-1]

4. Eckige Klammer auflösen
4. Das ist dasselbe wie ausmultiplizieren:
4. f(x) = 4·(x-3)² - 4

5. Am Ende nicht vergessen, das f(x) links vor das
5. Gleichheitszeichen zu schreiben.
5. Das ist jetzt die Scheitelpunktform der quadratischen Funktion.
5. Aus der Scheitelpunktform kann man die Koordinaten ...
5. des Scheitelpunktes SP direkt ablesen.
5. Scheitelpunkt aus Scheitelpunktform ↗