Bildbeschreibung und Urheberrecht

Äquivalenzumformung


Erklärt am Beispiel von 2·(x-4)=12


Wie lautet die Definition?


◦ Das Wort spielt beim Lösen von Gleichungen eine wichtige Rolle.
◦ Mit Äquivalenzumformungen kann man Schritt für Schritt schwere in leichte Gleichungen umformen.
◦ Eine Äquivalenzumformung ist eine Umformung, bei der sich die Lösungsmenge einer Gleichung nicht ändern kann.

Was meint "Lösungsmenge"?


◦ Nehmen wir die Gleichung 2·(x-4) = 12
◦ Wenn man für die Unbekannte x die Zahl 10 einsetzt, dann geht die Gleichung auf.
◦ Jede Zahl, die das "kann", würde man eine Lösung dieser Gleichung nennen.
◦ Bei der Gleichung oben ist die Zahl 10 die einzige Lösung.
◦ Also ist die Zahl 10 auch die ganze Lösungsmenge.

Was wäre eine Äquivalenzumformung?


◦ 2(x-4)=12 kann man noch durch Probieren lösen.
◦ Man könnte es aber auch über Umformungen lösen.
◦ Man könnte zum Beispiel erst beide Seiten der Gleichung durch 2 teilen.
◦ Das gäbe: x-4=6. Das ist jetzt eigentlich eine neue Gleichung.
◦ Aber auch bei ihr ist die einzige passende Lösung die Zahl 10.
◦ Das Teilen durch 2 war also eine Äquivalenzumformung.
◦ Jetzt kann man auf beiden Seiten die Zahl 4 addieren.
◦ Das gibt die neue Gleichung x=10.
◦ Auch hier ist die Lösungsmenge nur die Zahl 10.
◦ Auch die Addition war also eine Äquivalenzumformung.

Was wäre keine Äquivalenzumformung?


◦ Nehmen wir wieder: 2·(x-4)=12
◦ Man könnte beide Seiten der Gleichung mit 0 malnehmen.
◦ Dann gäbe das 0=0.
◦ So eine Gleichung nennt man eine "Identität".
◦ Egal was man für x "einsetzt", die Gleichung geht immer auf.
◦ Man sagt, dass die Lösungsmenge aus allen möglichen Zahlen besteht.
◦ Vor dem Malnehmen war die Lösungsmenge also 10, hinterher waren es alle Zahlen.
◦ Das Malnehmen mit 0 hat also die Lösungsmenge verändert.
◦ Beide Seiten einer Gleichung mit 0 malnehmen ist keine Äquivalenzumformung.

Wie schreibt man das?


◦ Normalerweise benutzt man den Äquivalenzpfeil: <=>
◦ In der Schulmathematik kommt auch der Umformungsstrich vor: |

Aufgaben


◦ In den Quickcheck-Aufgaben (qck) werden verschiedene Umformungen vorgenommen.
◦ Bei vielen ändert sich dabei die Lösungmenge.
◦ Es wird trainiert, das zu erkennen.
◦ Aufgaben unter => qck

Siehe auch


=> Äquivalent [auch andere Bedeutungen]
=> Äquivalenzumformungen [Beispiele]
=> Keine Äquivalenzumformungen
=> qck





© Lernwerkstatt Aachen GbR, 2020