Bildbeschreibung und Urheberrecht Wendepunkte bestimmen

Erklärung | Beispiel

Was meint Wendepunkt hier?

◦ Ein Punkt auf einem Funktionsgraphen, an dem sich die Krümmung ändert.
◦ Krümmungsänderung meint hier "von links nach rechts" oder umgekehrt.
◦ Der Punkt setzt sich aus einer x- und einer y-Koordinate zusammen.
◦ Wendestelle meint nur den x-Wert.
◦ Wendewert meint nur den y-Wert.
◦ Wendepunkt meint beides zusammen.
◦ WP ist die Abkürzung.

f' und der WP

◦ f' ist die erste Ableitung.
◦ Sie ist für Wendepunkte egal.
◦ Man braucht sie nur, um damit ...
◦ die zweite Ableitung zu erstellen.
◦ Beispiel: f(x)=x³ gibt f'(x)=3x².

f'' und der WP

◦ f'' ist die zweite Ableitung.
◦ Man leitet also f'(x) noch einmal ab.
◦ f'(x) abgeleitet gibt f''(x)=6x.
◦ Für den WP muss f''(x)=0 werden.
◦ Also: f'' gleich 0 setzen und nach x auflösen
◦ Im Beispiel gibt kommt heraus: x=0
◦ Bei x=0 ist jetzt ein WP möglich.
◦ Wäre die Gleichung nicht lösbar gewesen, ...
◦ dann gäbe es auch sicher keinen Wendepunkt.
◦ Hier im Beispiel ist aber ein WP möglich.
◦ Ob bei x=0 wirklich ein WP vorliegt, ...
◦ das sagt die dritte Ableitung f'''.

f''' und der WP

◦ f''' ist die dritte Ableitung.
◦ f''(x) abgeleitet gibt f'''(x).
◦ Im Beispiel gibt f''(x) abgeleitet f'''(x)=6.
◦ f'''(x) ist entweder eine Zahl oder ein Term mit x.
◦ Im Beispiel hier ist es einfach nur die Zahl 6.
◦ Falls sie ein Term mit x ist, setze dort x aus dem Schritt vorher ein.
◦ Berechne damit den Zahlenwert des Terms. Spätestens dann ist f''' eine Zahl.
◦ Wenn f'''(x) schon vorher eine Zahl war, mache mit dieser Zahl weiter.
◦ Im Beispiel war es die Zahl 6.
◦ Wenn diese Zahl kleiner als 0 ist, dann liegt dort ein => LR-WP
◦ Wenn diese Zahl größer als 0 ist, dann liegt dort ein => RL-WP
◦ Wenn diese Zahl gleich 0 ist, ist die Sache weiter unklar.
◦ Im Beispiel haben wir also einen => RL-WP
◦ Siehe auch => dritte Ableitung und Wendepunkt

LR und RL

◦ LR meint, dass die Krümmung von links nach rechts wechselt.
◦ RL meint, dass die Krümmung von rechts nach links wechselt.

Vorzeichenkriterium

◦ Die zweite Ableitung hat den x-Wert eines möglichen WP geliefert.
◦ Wenn f'''=0 wird, dann ist es unklar, ob dort tatsächlich ein WP liegt.
◦ Man überprüft dann die Krümmung links und rechts vom möglichen x-Wert.
◦ Ist der mögliche x-Wert eines WP z. B. 4, dann nimmt man die 3,9 und die 4,1.
◦ Diese Zahlen setzt man in die zweite Ableitung f'' ein und guckt was rauskommt.
◦ Ist f'' einmal positiv und einmal negativ, dann ist bei dem x-Wert sicher ein WP.
◦ Ist f'' beide mal positiv, beide mal negativ oder beide mal 0, dann sicher nicht.
◦ Nur wenn es also einen Vorzeichenwechsel von f'' gibt, hat man sicher einen WP.

Wie findet man den y-Wert?

◦ Man nimmt die x-Werte von sicheren Wendepunkten.
◦ Man setzt die x-Werte in die ursprüngliche Funktion f(x) ein.
◦ Was dabei rauskommt ist der y-Wert des Wendepunktes.
◦ Im Beispiel wäre der x-Wert die Zahl 0.
◦ In f(x) eingesetzt gibt das y=0.
◦ Der WP ist also bei (0|0).

Tipp

◦ Wenn möglich, immer den Graphen der Funktion betrachten.
◦ WP erkennt man oft leicht. Damit kann man das Ergebnis überprüfen.

Siehe auch

=> Dritte Ableitung und Wendepunkt
=> Wendepunkte [Beispiele]
=> Wendepunkt [Definition]
=> qck






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