Satz über rationale Nullstellen
Anleitung
Basiswissen
f(x) = 6x³-7x²+1: für ganzrationale Funktionen ab x³ gibt es keine immer funktionierenden einfachen Lösungsverfahren. Intelligentes Probieren ist oft der beste Weg. Der Satz über rationale Nullstellen ist ein solches Verfahren für effektives Probieren.
Der Satz ausformuliert
Ist der Bruch p/q eine Nullstelle einer Funktion f(x), dann ist p ein Teiler des Absolutgliedes und q ist ein Teiler des Leitkoeffizienten. Das wird jetzt kurz erklärt.
Beispiel
- f(x) = 6x³ - 7x² + 1
- f(x) ist eine kubische Funktion.
- Die 6 vor dem x³ ist der Leitkoeffizient ↗
- Die 1 am Ende ist heißt absolutes Glied ↗
- Die Teiler des Leitkoeffizienten sind: 1;2;3;6;-1;-2;-3;-6
- Die Teiler des Absolutgliedes sind: 1 und -1
- Die Teiler dürfen auch negativ sein.
- Mögliche Lösungen sind damit ausschließlich:
- 1/1;1/2;1/3;1/6 sowie -1/1; -1/2;-1/3 und -1/6
- Einsetzprobe liefert: -1/3 und 1/2 passen.
- Also sind -1/3 und 1/2 Nullstellen.
Erklärung der Begriffe:
- Bei ganzrationalen Funktionen heißt der Term ohne x "absolutes Glied".
- Beispiel: f(x) = 2x³ - 3x² + 4x + 5 hat die 5 als absolutes Glied.
- Bei ganzrationalen Funktionen gibt es immer einen Leitkoeffizienten.
- Der Leitkoeffizient ist der Vorfaktor vor dem x mit der höchsten Potenz.
- Beispiel: Bei f(x) = 2x³ - 3x² + 4x + 5 ist die 2 der Leitkoeffizient.
- Betrachtet werden nur rationale Nullstellen.
- Rational meint, dass die NS als Bruch p/q geschrieben werden kann.
- p und q müssen dabei wiederum ganze Zahlen sein.
- p und q müssen aber teilerfremd sein.
Was hat der Satz mit Nullstellen zu tun?
- Der Satz gilt nur für alle ganzrationalen Funktionen.
- Das sind Funktionen der Form f(x) = a·x^n + b·x^(n-1) + c·x^(n-2) y·x^1 + z ...
- Die Koeffizienten a, b, c z etc. müssen ganze Zahlen sein.
- Die Koeffizienten a, b, c z etc. dürfen negativ sein.
- Dann kann man damit Nullstellen finden.
- (aber nicht immer alle)
Kann man damit auch Gleichungen lösen?
- Ja, Setzt man für f(x) die 0 ein, dann ...
- entsteht aus dem Funktionsterm eine ganzrationale Gleichung.
- Alles, was hier über NS von Funktionen gesagt wird, gilt ...
- auch für Gleichungen, bei denen das f(x) die 0 ist.
Kann man damit immer alle Nullstellen finden?
- Nein. Mit dem Verfahren würde man nur rationale NS finden.
- Irrationale NS kann man mit dem Verfahren nicht finden.
- Rational meint hier, dass sich eine Zahl als Bruch darstellen lässt.
- Irrational wäre zum Beispiel die Wurzel von 2 oder die Zahl Pi.
Welche Rolle spielt der Satz in der Schulmathematik?
- In der Schulmathematik wird der Satz zurzeit (2021) kaum behandelt.
- Am ehesten hilft er bei kubischen und quartischen Gleichungen.
