Bildbeschreibung und Urheberrecht Satz über rationale Nullstellen

Sagt etwas über die Existenz von NS

Was hat der Satz mit Nullstellen zu tun?

◦ Der Satz gilt nur für alle ganzrationalen Funktionen.
◦ Das sind Funktionen der Form f(x) = a·x^n + b·x^(n-1) + c·x^(n-2) ... y·x^1 + z ...
◦ Die Koeffizienten a, b, c ... z etc. müssen ganze Zahlen sein.
◦ Die Koeffizienten a, b, c ... z etc. dürfen negativ sein.
◦ Dann kann man damit Nullstellen finden.
◦ (aber nicht immer alle)

Kann man damit auch Gleichungen lösen?

◦ Ja, Setzt man für f(x) die 0 ein, dann ...
◦ entsteht aus dem Funktionsterm eine ganzrationale Gleichung.
◦ Alles, was hier über NS von Funktionen gesagt wird, gilt ...
◦ auch für Gleichungen, bei denen das f(x) die 0 ist.

Was muss man vorab wissen?

◦ Bei ganzrationalen Funktionen heißt der Term ohne x "absolutes Glied".
◦ Beispiel: f(x) = 2x³ - 3x² + 4x + 5 hat die 5 als absolutes Glied.
◦ Bei ganzrationalen Funktionen gibt es immer einen Leitkoeffizienten.
◦ Der Leitkoeffizient ist der Vorfaktor vor dem x mit der höchsten Potenz.
◦ Beispiel: Bei f(x) = 2x³ - 3x² + 4x + 5 ist die 2 der Leitkoeffizient.
◦ Betrachtet werden nur rationale Nullstellen.
◦ Rational meint, dass die NS als Bruch p/q geschrieben werden kann.
◦ p und q müssen dabei wiederum ganze Zahlen sein.
◦ p und q müssen aber teilerfremd sein.

Wie lautet der Satz über rationale Nullstellen?

◦ Ist p/q eine NS einer Funktion f, dann ...
◦ ist p ein Teiler des Absolutgliedes und ...
◦ q ist ein Teiler des Leitkoeffizienten.

Was wäre ein Beispiel?

◦ f(x) = 6x³ - 7x² + 1
◦ Absolutglied ist hier die 1.
◦ Leitkoeffizient ist hier die 6.
◦ Teiler des Leitkoeffizienten sind 1;2;3;6
◦ Teiler des Absolutgliedes sind 1 und -1.
◦ Mögliche Lösungen sind:
◦ 1/1;1/2;1/3;1/6 sowie -1/1; -1/2;-1/3 und -1/6
◦ Einsetzprobe liefert: -1/3 und 1/2 passen.
◦ Also sind -1/3 und 1/2 Nullstellen.

Wozu ist dieser Satz gut?

◦ Gibt es eine rationale Nullstellen, kann man sie damit finden.
◦ Man bildet alle Teiler vom Absolutglied.
◦ Und man bildet alle Teiler vom Leitkoeffizienten.
◦ Dann bildet man daraus alle Kombinationen für p und q ...
◦ Jeden so gebildeten Bruch kann man in die Funktion einsetzen.
◦ Wird der Funktionswert zu 0, ist der Bruch eine Nullstelle.

Könnte man damit immer alle Nullstellen finden?

◦ Nein. Mit dem Verfahren würde man nur rationale NS finden.
◦ Irrationale NS kann man mit dem Verfahren nicht finden.
◦ Rational meint hier, dass sich eine Zahl als Bruch darstellen lässt.
◦ Irrational wäre zum Beispiel die Wurzel von 2 oder die Zahl Pi.

Welche Rolle spielt der Satz in der Schulmathematik?

◦ In der Schulmathematik wird der Satz zurzeit (2019) kaum behandelt.
◦ Am ehesten hilft er bei kubischen und quartischen Gleichungen.

Synonyme

=> Teilermethode [auf diesem Lexikon]
=> Satz über rationale Nullstellen
=> Gauß Lemma

Siehe auch

=> Nullstellen von ganzrationalen Funktionen
=> Ganzrationale Gleichungen über Teilermethode
=> Absolutes Glied
=> Leitkoeffizient
=> Rationale Zahl
=> Teiler
=> eng






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