Quotientengleichhheit
Definition
Basiswissen
Bei proportionalen Zuordnungen gilt Quotientengleichheit. Was das bedeutet, wie man es überprüft und was dabei die Worte „pro“, „Proportionalitätskonstante“ und „Verhältnis“ bedeuten ist hier kurz erklärt.
Was ist ein Quotient?
½ oder 8/4 oder auch 4:0,7 sind typische Quotienten: als Quotient bezeichnet man jeden Bruch und jeden Term, bei dem als letzte Rechenart beim bestimmen des Wertes (beim "ausrechnen") geteilt wird. Dabei dürfen beliebige Zahlen vorkommen, vor allem auch echte Kommazahlen. Für die genaue Definition siehe auch Quotiententerm ↗
Was ist der Quotientenwert?
Einen Quotienten kann man dann ausrechnen, das heißt, seinen Wert bestimmen: ½ hat als Dezimalzahl geschrieben den Wert 0,5. Und der Quotient 8/4 hat als Dezimalzahl geschrieben den Wert 2. Diesen Wert eines Quotienten nennt man den Quotientenwert ↗
Die Definition von Quotientengleichheit
Man spricht von einer Quotientengleichheit, wenn in einem bestimmten Zusammenhang jeder Quotient, den man als Wert ausgerechnet immer dieselbe Zahl ergibt. Ein solcher Zusammenhang, bei dem dann immer diese sogenannte Quotientengleichheit gilt ist die sogenannte proportionale Zuordnung ↗
Tabellenbeispiel zur Quotientengleichheit
x 0 2 3 4 12 34 1050
y 0 4 6 8 24 68 2100
x:y bei proportionalen Zuordnungen
- Bei jeder proportionalen Zuordnung gilt:
- Ein x-Wert geteilt durch den dazugehörigen y-Wert gibt immer dasselbe:
- 2 durch 4 gibt 0,5 ✔
- 3 durch 6 gibt 0,5 ✔
- 4 durch 8 gibt 0,5 ✔
- 12 durch 24 gibt 0,5 ✔
- 34 durch 68 gibt 0,5 ✔
- 1050 durch 2100 gibt 0,5 ✔
y:x bei proportionalen Zuordnungen
- Bei jeder proportionalen Zuordnung gilt:
- Ein y-Wert geteilt durch den dazugehörigen x-Wert gibt immer dasselbe:
- 4 durch 2 gibt 2 ✔
- 6 durch 3 gibt 2 ✔
- 8 durch 4 gibt 2 ✔
- 24 durch 12 gibt 2 ✔
- 68 durch 34 gibt 2 ✔
- 2100 durch 1050 gibt 2 ✔
0 durch 0 bei proportionalen Zuordnungen
In jeder proportionalen Zuordnung gibt es das Wertepaar x=0 und y=0. Auf dieses Wertepaar wendet man die Regel nicht an. Das ginge auch nicht, da man ja durch 0 nicht rechnen darf. Man wendet die Regel aber für alle anderen Werte an und spricht trotzdem insgesamt von einer proportionalen Zuordnung. Siehe auch durch Null ↗
Tipps zu proportionalen Zuordnungen
- Es ist egal, ob man es mit x durch y oder mit y durch x probiert.
- Wichtig ist nur: hat man eines genommen, muss immer das Gleiche rauskommen.
- 0 durch 0 braucht man nicht zu überprüfen
Pro: Quotientengleichheit bei konstanten Geschwindigkeiten
Wenn sich irgendetwas immer gleich schnell bewegt, also eine konstante Geschwindigkeit hat, dann kann man folgende Quotienten bilden: man betrachtet die Bewegung zwischen zwei verschiedenen Zeitpunkten. Die Strecke, die dabei zurückgelegt wurde geteilt durch die dafür benötigte Zeit ist ein Quotient. Solange die Geschwindigkeit der Sache sich nicht ändert, wird dieser Quotient immer dasselbe Zahlenergebnis geben. Mit Einheiten gesprochen sagt man dann zum Beispiel, dass Meter pro Sekunde immer denselben Wert gibt. Das Wörtchen pro Steht hier gedanlich für einen Bruchstrich oder für ein Geteiltzeichen. Siehe auch konstante Geschwindigkeit ↗
Quotientengleichheit als Verhältnis
Kommt für einen Quotienten in einem bestimmten Zusammenhang immer dasselbe Zahlenergebnis heraus, dann kann man zwei verschieden Quotienten auch Gleichsetzen. Auf beiden Seiten wird dann immer dasselbe Zahlenergebnis beim Ausrechnen der Quotienten stehen. Zwei vom Zahlenwert her gleiche Quotienten nennt man auch ein Verhältnis ↗
Was ist die Proportionalitätskonstante?
So nennt man das Zahlenergebnis, dass bei einer Quotientengleichheit herauskommt, wenn man für die Quotienten den Wert bestimmt. Wenn zum Beispiel jedes Kilogramm Kartoffeln auf einem Markt 4 Euro kostet, dann wird jeder Gesamtpreis in Euro geteilt durch die dazugehörigen Kilogramm von der Zahl her 4 ergeben: 12 Euro für 3 Kilogramm kann man kürzen zu 4 Euro pro Kilogramm. Die Zahl 4 ist dann die Proportionalitätskonstante ↗
Quotientengleichheit
Ein interessantes Beispiel für Quotientengleichheit ist das Steigungsdreieck von Geraden: teilt man die Höhe des Dreieckes durch die Breite des Dreiecks, kommt für eine bestimmte Gerade immer dieselbe Zahl heraus. Egal, wo und wie groß man das Steigungsdreieck zeichnet, die Höhe geteilt durch die Breite gibt immer dieselbe Zahl. Es herrscht also Quotientengleichheit. Für Geraden ist dieser immer gleiche Zahlenwert die Geradensteigung ↗
