Quartische Gleichungen lösen

4 Verfahren

Basiswissen

Was meint "quartische Gleichung"?

• Dasselbe wie ganzrationale Gleichungen vierten Grades.
  

• Man könnte umgangssprachlich auch "hoch-4-Gleichungen sagen".
  

• Eine genauere Definition steht unter quartische Gleichung ↗
  

Wie löst man quartische Gleichungen?

• Quartische Gleichungen können bis zu vier Lösungen haben.
  

• Es kann auch sein, dass es gar keine Lösung gibt.
  

• Je nachdem, wie die Gleichung aufgebaut ist, ...
  

• eignen sich unterschiedliche Verfahren.
  

1. Probieren

• x^4 = 16
  

• Einfache Zahlen probieren:
  

• x=2 klappt; 2 ist also eine Lösung.
  

• Mehr unter quartische Gleichungen über Probieren ↗
  

2. Faktorisieren

• x^4 - x^2 = 0
  

• x^2(x^2 - 1) = 0
  

• Die Lösungen sind:
  

• x=0, x=-1, x=1
  

• Mehr unter quartische Gleichungen über Faktorisieren ↗
  

• Faktorisieren geht nur, wenn in jedem Glied des Gleichungsterms ein x vorkommt.
  

• Gibt es ein absolutes Glied, dann kann man nicht faktorisieren.
  

3. Substitution

• Tauchen in der Gleichungen nur Glieder mit x-hoch-4 und x-quadrat, ...
  

• dann handelt es sich um eine biquadratische Gleichung.
  

• Beispiel: 0=2x^4-2x²-20
  

• Dazu mehr mehr unter Biquadratische Gleichungen über Substitution ↗
  

4. Teilermethode

• Angenommen die Leitkoeffizienten sind alle ganze Zahlen.
  

• Dann kann man mögliche Lösungen immer durch intelligentes Probieren finden.
  

• Mehr unter quartische Gleichungen über Teilermethode ↗
  

5. Newton-Verfahren

• Das Newton-Verfahren ist ein intelligentes Probierverfahren.
  

• Man findet damit vergleichsweise schnell Näherungslösungen.
  

• Es wird heute noch von Computern angewendet.
  

Trainingsaufgaben