Punktprobe 3D
Vektorrechnung
Basiswissen
Der Punkt (7|10|16) liegt auf der Geraden x=(1|1|1)+r(2|3|5). Die Punktprobe ist eine Möglichkeit, rechnerisch festzustellen, ob ein Punkt auf einer Geraden oder einer Ebene in einem dreidimensionalen Raum liegt. Das ist hier kurz angedeutet.
Was meint Punktprobe?
- Man soll überprüfen, ob ein Punkt zu einem anderen geometrischen Gebilde gehört.
- In der Schulmathematik üblich sind Punktproben für Geraden und Ebenen.
- Der Kontext ist oft die analytische Geometrie oder Vektorrechnung ↗
Die Punktprobe mit Geraden in Parameterform
- Man nimmt die Parameterform der Geraden ↗
- Man setzt die Koordinaten des gegebenen Punktes für den Vektor x ein.
- Wenn man dann einen Wert für den Parameter r findet, dass die Gleichung ...
- für alle drei Komponenten aufgeht, dann liegt der Punkt auf der Geraden.
- Man muss dazu ein lineares Gleichungssystem für r lösen.
- Gibt es für r eine Zahlenlösung, liegt der Punkt auf der Geraden.
Die Punktprobe mit Ebenen in Parameterform
- Man nimmt die Parameterform der Ebene ↗
- Man setzt die Koordinaten des gegebenen Punktes für den Vektor x ein.
- Wenn man dann einen Wert für die Parameter r und s findet, dass die Gleichung ...
- für alle drei Komponenten aufgeht, dann liegt der Punkt auf der Ebene.
- Man muss dazu ein lineares Gleichungssystem für r und s lösen.
- Gibt es für r und s eine Zahlenlösung, liegt der Punkt auf der Ebene.
Die Punktprobe mit Ebenen in Normalenform
- Man nimmt die Gleichung der Normalenform der Ebene ↗
- Es gibt verschiedene aber sehr ähnliche solche Normalenformen.
- Das Verfahren hier funktioniert mit allen diesen Formen.
- Man setzt die Koordinaten des gegebenen Punktes für den Vektor x ein.
- Geht die Gleichung damit auf, dann lag der Punkt auf der Ebene.
Die Punktprobe mit Ebenen in Koordinatenform
- Man nimmt die Gleichung der Koordinatenform der Ebene ↗
- Beispiel: E: 3x+8y-6z = 4
- Man setzt die Koordinaten des gegebenen Punktes für x, y und z ein.
- Beispiel: gegeben ist der Punkt (4|2|4). Diesen setzt man ein:
- 3·4+8·2-6·4 = 20. Man rechnet die linke Seite aus: 12+16-24 = 4
- Damit kommt auf beiden Seiten der Gleichung dasselbe, hier 4 heraus.
- Damit liegt der Punkt auch auf der Ebene.