Potenzbasis umwandeln
2³ = e hoch ?
Basiswissen
In dem Term 2³ ist die 2 die Basis und die 3 der Exponent. Der Wert des Ausdruckes ist 8. Kann man eine Potenz mit einer anderen Basis finden, die denselben Wert ergibt? Das wird hier kurz für die neue Basis e (etwa 2,718) erklärt.
Kurzversion
- a^x = b^[log von (a^x) zur Basis b]
- Vereinfacht: a^x = b^[x·log(a)]
Fachworte
- 2³ als Ganzes nennt man eine Potenz von der Zwei.
- Die 3 ist die Hochzahl, auch Exponent genannt.
- Die 2 ist die Basis.
Was ist e?
- e steht hier für die Eulersche Zahl ↗
- Sie spielt eine Rolle bei Exponentialfunktionen.
- Der Wert von e liegt bei etwa 2,718.
Schritt für Schritt
- 2³ soll in e hoch umgewandelt werden.
- Nimm die gegebene Potenz, hier also 2³.
- Schreibe ein Gleichzeichen dahinter: 2³ =
- Schreibe die neue Basis dahinter: 2³ = e
- Schreibe dann als Exponent der neuen Basis:
- log zur neuen Basis hoch alter Exponent.
- Das gibt hier: 2³ = e ^ (log zur Basis e von 2³)
- Die alte Potenz kann man oft noch ausrechnen.
- Das gibt hier: 2³ = e ^ (log zur Basis e von 8)
- Log zur Basis ist kurzgeschrieben auch: ln.
- Also: 2³ = e^ln(8)
- Oder: 2³ ~ e^2,1
- Fertig.
Legende
- Das Dach ^ meint "hoch".
- 2^5 meint also 2-hoch-5.
Wozu dient der Wechsel der Basis?
In der höheren Mathematik und in der Physik ist es oft sinnvoll, alle Potenzen als Potenzen der Eulerschen Zahl e auszudrücken. Ein Grund dafür ist, dass man solche Potenzen in Funktionstermen leichter ableiten kann als Potenzen mit anderen Basen. Siehe als Anwendungsbeispiel Exponentialfunktion in e-Funktion [umwandeln] ↗
