Nullstellen von kubischen Funktionen bestimmen

Probieren ... Nullprodukt ... Faktorisieren ...

Was meint kubisch?

◦ f(x) = ax³ + bx² + cx + d
◦ Jede Funktion, die man in die obige Form umformen kann, heißt kubisch.
◦ Kubische Funktionen heißen gauch ganzrationale Funktionen dritten Grades.
◦ ... mehr unter => Kubische Funktion

Wie viele NS gibt es?

◦ Eine kubische Funktion hat mindestens eine Nullstelle.
◦ Sie hat höchstens drei Nullstellen.
◦ Sie kann auch genau zwei haben.

Was sind die Verfahren?

◦ Es gibt viele verschiedene Verfahren.
◦ Bei allen Verfahren setzt man f(x) erst einmal gleich 0.
◦ Ab hier ist die Vorgehensweise wie beim Lösen einer kubischen Gleichung.

Probieren

Funktionsterm sehr einfach: Für x einfache Zahlen wie 0, 1, 2 einsetzen. Wenn f(x) Null wird, hat man eine Nullstelle gefunden. Probiere zuerst alle Teiler des absoluten Gliedes (Zahl ohne x im Funktionsterm) sowie die Gegenzahlen (umgedrehtes Vorzeichen) dieser Teiler. Mehr unter => kubische Gleichungen über Probieren

Faktorisieren

Funktionsterm hat nur Glieder mit x: Ein x aus dem Funktionsterm ausklammern. Wenn das geht, hat man eine Nullstelle bei x=0. Der restliche Klammerterm ist dann eine quadratische Gleichung. Sie kann man mit der normalen pq-Formeln lösen. Mehr unter => Kubische Gleichungen über Faktorisieren

Ablesen

Die Funktionsgleichung liegt schon in faktorisierter Form als eine Malkette vor. Dann gilt der Satz vom Nullprodukt und man kann die NS direkt ablesen, mehr unter => Nullstellen von kubischen Funktionen über Ablesen

Polynomdivision

Funktionsterm schwierig, eine Lösung schon bekannt: Kann man kein x ausklammern und hat man eine Lösung der Gleichung irgendwoher anders, dann teilt man per Polynomdivision den Funktionsterm durch den Klammerterm (x-Lösung). Geht die Polynomdivision glatt auf, dann ist das Ergebnis eine quadratische Gleichung, die man wieder mit der pq-Formeln lösen kann.

Horner-Schema

Ist ähnlich wie die Polynomdivision. Auch hier muss man wieder eine erste Nullstelle kennen, um überhaupt anfangen zu können. Das Verfahren ist hier nicht erklärt.

Sonstiges

Zwei andere Lösungswege sind die Cardanische Formel sowie das Newton-Verfahren. Dieses ist recht zeitaufwändig zu rechnen, jene recht schwer zu verstehen. Beide Wege kommen normalerweise, wenn überhaupt, erst in einem Studium vor.

Siehe auch

=> Nullstellen von kubischen Funktionen über Probieren
=> Nullstellen von kubischen Funktionen über Faktorisieren
=> Polynomdivision => qck
=> Kubische Funktion [Erklärung]
=> Nullstellen bestimmen [Übersicht]
=> qck







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