Bildbeschreibung und Urheberrecht Nullstellen von biquadratischen Funktionen bestimmen

Probieren ... Nullprodukt ... Faktorisieren ... Substitution

Was ist immer der erste Schritt?

Zuerst setzt man das f(x) gleich 0. Statt f(x) steht auch manchmal ein y. Egal ob f(x) oder y: immer erst das gleich 0 setzen. Beispiel:

f(x) = x⁴ + x² - 12
0 = x⁴ + x² - 12

Jetzt hat man eine biquadratische Gleichung. Zur Lösung gibt es verschiedene Verfahren. Welches man am besten nimmt, hängt von den konkreten Zahlen der Gleichung ab.

Probieren

0 = x⁴+x²-12: Diese Gleichung ist so einfach, dass man für x erst einmal einfache Zahlen einsetzen kann und guckt, ob die Gleichung dann (zufälligerweise) aufgeht. Bei der Gleichung oben würden die 2 und die -2 die Gleichung lösen.

Nullprodukt

0 = x²(x²-1): Hier ist die rechte vollständig faktorisiert, liegt also als eine Malkette aus zwei Faktoren vor. Der eine Faktor ist das x² und de andere die Klammer. Wenn einer der Faktoren Null wird, dann wird die ganze rechte Seite zu Null (Satz vom Nullprodukt). Zahlen, die für x eingesetzt das können, sind Lösungen. Durch Hingucken findet man als Lösungen die 0, die -1 und die 1.

Faktorisieren

0 = x⁴-x²: Durch Ausklammern von x² kann man aus der Differenz eine Malkette machen. Dann kann man weitermachen wie beim Verfahren mit dem Nullprodukt. Die Malkette wäre hier x²(x²-1). Faktorisieren geht nur, wenn alle Glieder des Funktionsterms ein x enthalten. Gibt es eine Glied nur mit einer Zahl, kann man nicht faktorisieren. Beispiel: "x⁴ + x² - 12" kann man nicht faktorisieren.

Substitution

0 = 2x⁴-16x²+30: hier kommen im Funktionsterm als einzige Exponenten von x die Zahlen 4 und 2 vor. Immer wenn das so ist, dann kann man die Substitution x²=z und x⁴=z² anwenden. Wie das genau geht, ist auf einer anderen Seite erklärt.

Polynomdivision

Hat man von der Funktion bereits eine Nullstelle gefunden, dann kann man durch eine sogenannte Polynomdivision den Funktionsterm Faktorisieren. Wie das geht, ist hier aber nicht erklär.t

Horner-Schema

Das Horner-Schema ist eine Alternative zur Polynomdivision. Auch bei diesem Verfahren muss man eine erste Nullstelle kennen, bevor man dann weiter machen kann.

Newton-Verfahren

Das Newton-Verfahren gehört zu den sogenannten numerischen Verfahren. Numerisch meint, dass man durch ein systematisches Probieren immer näher an die richtige Lösung kommt. Numerische Verfahren benutzt man vor allem auf Computern, die sehr schnell rechnen können.

Siehe auch

=> Nullstellen von biquadratischen Funktionen => qck
=> Nullstellen über Substitution => qck
=> Polynomdivision
=> qck






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