Bildbeschreibung und Urheberrecht Nullstellen über Substitution

Verfahren für biquadratische (und so ähnliche) Funktionen

Anwendung

◦ Im Funktionsterm kommen nur gerade Exponenten von x.
◦ Gerade Exponenten wären: 0; 2; 4; 6 und so weiter.
◦ Als Faktor dürfen vor dem x auch noch Zahlen stehen.
◦ Weil x⁰ immer eins gibt, wäre 8x⁰ dasselbe wie 8.
◦ Es dürfen also immer auch reine Zahlen vorkommen.

Geht

◦ f(x) = 2x⁴ - 3x² + 4
◦ f(x) = -0,5x⁴ + x²
◦ f(x) = x⁴

Geht nicht

◦ f(x) = 2x⁴ + x³
◦ f(x) = x⁴ + x
◦ f(x) = 2x⁴ - 3x² + 2x

Rechenbeispiel

◦ Beispiel: f(x) = 2x⁴ - 16x² + 30
◦ f(x) immer erst als 0 schreiben.
◦ Man schreibt dann die Substitution hin: x²=z.
◦ Damit wird automatisch x⁴ zu z².
◦ Man scheibt die Gleichung mit z statt mit x neu hin:
◦ 0 = 2z² - 16z + 30
◦ Man hat dann eine quadratische Gleichung mit z.
◦ Diese quadr. Gleichung löst man, z. B. mit der pq-Formel.
◦ Beispielhafte Lösung: z₁=3 und z₂=5

Rücksubstitution

◦ Man hat jetzt erst die Lösung für z.
◦ Man sucht sie aber für x.
◦ Die Substitution war: x²=z
◦ Jetzt setzt man für z die gefundenen Lösungen ein:
◦ x²=3 und x²=5. Das sind zwei Gleichungen, die man löst:
◦ Das führt zu den folgenden vier Zeilen:
◦ x₁ = +(Wurzel aus z₁), wäre oben etwa +1,73 ✔
◦ x₂ = -(Wurzel aus z₁), wäre oben etwa -1,73 ✔
◦ x₃ = +(Wurzel aus z₂), wäre oben etwa +2,24 ✔
◦ x₄ = -(Wurzel aus z₂), wäre oben etwa -2,24 ✔

Tipps

◦ Es kann sein, dass es keine, eine, zwei, drei oder vier Nullstellen gibt.
◦ Aus einem negativen z können nie Nullstellen mit x werden.
◦ x^6 und x³ kann man auch als z² bzw. z substituieren.

Siehe auch

=> Nullstellen von biquadratischen Funktionen bestimmen => qck
=> Nullstellen bestimmen
=> qck






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