Nullstellen über Probieren
Schnelles Verfahren
Basiswissen
Probieren meint hier ein intelligentes und kontrolliertes Raten, bei dem schnell erste brauchbare Ergebnisse erzielt werden können.
Die Problemstellng
Für lineare und quadratische Funktion kann man durch immer gleiche Verfahren immer sicher alle Nullstellen finden: Bei linearen Funktionen kann man immer umformen, bei quadratischen Funktionen kann man immer die pq-Formel oder die ABC-Formel anwenden. Bei ganzrationalen Funktionen ab dem Grad drei (x hoch 3 kommt vor) gibt es kein solches einfaches Verfahren. Mindestens die erste Nullstelle muss man durch Probieren finden. Je nach den Zahlen im Funktionsterm kann das sehr lange dauern.
Die Lösungsidee
Bei ganzrationalen Funktion funktioniert das folgende oft sehr gut: Betrachte erst das absolute Glied im Funktionsterm. Das absolute Glied ist immer die Zahl ohne x. Das absolute Glied steht meistens am Ende des sortierten Funktionsterms. Von dieser Zahl bildest du alle Teiler. Teiler sind alle nicht-Kommazahlen, die ohne Rest in der eigentlichen Zahl stecken. Diese Teiler und ihre Gegenzahlen (gleiche Zahl mit minus) sind mögliche Nullstellen, die man zuerst probieren sollte. Mehr dazu unter Nullstellen über ganzrationales Glied ↗
Beispiele
x³ - 5x² + 2x + 8
Das absolute Glied ist 8.
Teiler sind: 1, 2, 4 und 8.
Gegenzahlen: -1, -2, -4, -8.
Probieren
1 für x einsetzen: geht nicht auf ⭢ keine NS
2 für x einsetzen: geht glatt auf ⭢ ist NS
4 für x einsetzen: geht glatt auf ⭢ ist NS
8 für x einsetzen: geht nicht auf ⭢ keine NS
- 1 für x einsetzen: geht glatt auf ⭢ ist NS
- 2 für x einsetzen: geht nicht auf ⭢ keine NS
- 4 für x einsetzen: geht nicht auf ⭢ keine NS
- 8 für x einsetzen: geht nicht auf ⭢ keine NS
Lösung aufschreiben
- Als Lösungsmenge: L = {-1; 2; 4}
- Als Liste: x=-1; x=2; x=4
