Bildbeschreibung und Urheberrecht Normalform in faktorisierte Form

Was das bei quadratischen Funktionen meint und wie es geht

Um welche Formen geht es hier?

Eine bestimmte quadratische Gleichung oder Funktion kann man in verschiedenen Formen aufschreiben. Die Normalform ist f(x)=x²+px+q und die faktorisierte Form ist f(x)=(x-a)(x-b). Tipp: zwischen den Klammern steht ein gedachtes Malzeichen.

Wozu sind die zwei Formen gut?

An der Normalform sieht man, dass vor dem x² kein Faktor steht (außer der unsichtbaren Eins). Daher weiß man sofort, dass die dazugehörige Parabel nach oben geöffnet und weder gestreckt noch gestaucht ist. An der faktorisierten Form könnte man sofort die Nullstellen ablesen. Es sind die x-Werte, die je eine der zwei Klammern zu Null machen würden. Je nachdem, was einen interessiert, ist es gut, die eine oder andere Form zu haben.

Geht die Umwandlung immer?

Nein. Nicht jede Gleichung in Normalform kann man auch als faktorisierte Form schreiben. Wenn die Parabel einer Funktion keine Nullstellen hat, dann gibt es keine dazu passende faktorisierte Form.

Wie geht die Umwandlung?

Schritt 0

NF gegeben: f(x) = x² + px + q
FF gesucht: f(x) = (x-a)(x-b)

Schritt 1

Nullstellen über pq-Formel bestimmen

Schritt 2

Falls mindestens eine NS herauskommt, gehe weiter zu Schritt 3. Falls keine NS herauskommt, dann gibt es für diese Normalform keine faktorisierte Form. Man kann schreiben: "Kann nicht umgewandelt werden". Fertig.

Schritt 3

Falls zwei NS herauskommen, gehe weiter zum Schritt 4. Falls genau eine NS herauskommt, diese Zahl sowohl für a und b der FF einsetzen. Fertig.

Schritt 4

Wenn bei der pq-Formel genau zwei NS herauskommen, dann setze die erste NS für a und die zweite NS für b ein. Fertig.

Beispiel für 2

NF gegeben: f(x) = x² + 4x + 8
FF: Kann nicht in FF dargestellt werden.

Beispiel für 3

NF gegeben: f(x) = x² + 4x + 4
FF ist dann: f(x) = (x-2)(x-2)

Beispiel für 4

NF gegeben: f(x) = x² - 4
FF ist dann: f(x) = (x+2)(x-2)

Alternative für Schritt 4: Wer hier die 3. binomische Formel erkennt, kann diese direkt anwenden. Damit spart man sich die Anwendung der pq-Formel.

Siehe auch

=> Quadratische Funktion [Übersicht]
=> qck






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