R


Kreisfläche über Integralrechnung


Herleitung


Basiswissen


Kann man die Formel A = pi·r² aus einfachsten Grundlagen herleiten? Ja, als bekannt angenommen wird nur die Kenntnis darüber, dass der Kreisumfang U immer das Pi-fache des Kreisdurchmessers D ist, also U=Pi·D gilt.

Skizze



Vorbereitung


Wir nähern jetzt den Flächeninhalt von dem Kreisring an. Dabei denken wir schon jetzt daran, dass wir den Kreisring gedanklich gleich immer dünner machen, das heißt unser b gedanklich gegen 0 läuft. Für einen dünnen Kreisring kann man sagen, dass der Außendurchmesser gleich dem Innendurchmesser ist. Stellt man sich den Kreisring an einer Stelle durchgeschnitten vor und zieht man ihn dann wie einen Faden kerzengerade lang, dann entsteht ein Rechteck von der Länge 2·r·Pi und der Breite b. Der Flächeninhalt dieses Rechtecks passt umso genauer auf den echten Flächeninhalt des Kreisringes, je kleiner b ist. Der Flächeninhalt wäre dann 2·r·Pi·b. Das kleine b nennen wir ab jetzt Delta-r, denn es ist im Prinzip der Unterschied des Radius, der bei einem neuen Kreisring dazukommt.

Integration


Nun stellen wir uns vor, dass die gesamte Kreisfläche K1 von vielen solchen Kreisringen gebildet wird. Die Flächeninhalte aller Kreisringflächen aufaddiert ergäbe dann die Kreisfläche. Das erreichen wir über eine Integration der Kreisringflächen vom Radius r=0 bis zum Außenradius r = 10 cm. Zunächst bilden wir die Stammfunktion A(r) mit r als Integrationsvariablen:

A(r) = 2·r²:(2·Pi)