Hochpunkte bestimmen
Analysis
Basiswissen
Ein Punkt eines Funktionsgraphen, dessen Nachbarn alle kleinere y-Werte haben ist ein Hochpunkt. Es werden verschiedene Methoden erklärt, solche Hochpunkte zu bestimmen.
Was sind Hochpunkte?
- Hochpunkte sind Punkte auf einem Funktionsgraphen.
- Alle Nachbarpunkte sind niedriger als der Hochpunkt.
- Niedriger heißt: die y-Werte der Punkte sind kleiner.
- Der x-Wert des HP heißt Hochstelle ↗
- Der y-Wert des HP heißt Hochwert ↗
- Beide zusammen sind der Hochpunkt ↗
- Definition unter Hochpunkt ↗
Was meint "bestimmen"?
- Bestimmen meint: irgendwie herausfinden.
- Das kann rechnerisch, graphisch, über Raten oder sonstwie sein.
- Bestimmt werden die x- und y-Werte des Hochpunktes.
Graphisch
- Erzeuge irgendwie einen Graphen.
- Finde Punkte die wie Gipfel von einem Berg aussehen ...
- Bestimme den x- und y-Wert durch ablesen.
- Schreibe HP (x-Wert|y-Wert), z. B.: HP (2|4)
- Siehe auch 2D-Punkt aus Koordinatensystem ↗
Über Ableiten
- Eine ausführliche Anleitung steht auf Hochpunkte über Analysis ↗
- Hier folgt eine Kurzanleitung ohne viele Erklärungen:
- Man hat eine Funktionsgleich, wie etwa f(x) = -x²+8x
- Bilde f'(x), das gibt hier: f'(x) = -2x+8
- Bilde f''(x), das gibt hier: f''(x) = -2
- Setze f'(x) gleich 0, das gibt hier: 0 = -2x+8
- Löse diese Gleichung nach x auf, das gibt hier: x=4.
- Diese Zahl ist der x-Wert eines möglichen Hochpunktes.
- Setze diesen x-Wert in f''(x) ein, das gibt hier f''(4)=-2
- Wenn f''(x) 0 oder eine positive Zahl ist, dann gibt es keinen Hochpunkt.
- Wenn f''(x) eine negative Zahl gibt, dann gibt es einen Hochpunkt.
- Setzte den x-Wert des Hochpunkte, in f(x), das gibt f(4)=16.
- Das ist dann der y-Wert des Hochpunktes.
- Schreibe: HP (x-Wert | y-Wert)
- Hier gibt das den HP (4|16).
Bei Parabeln: Scheitelpunkt
- Parabel ist der Name des Graphen einer quadratischen Funktion.
- Ist die Parabel nach unten geöffnet, hat sie immer einen Hochpunkt.
- Der Hochpunkt einer Parabel heißt auch Scheitelpunkt.
- Mehr unter Scheitelpunkt einer Parabel bestimmen ↗