Hochpunkt
Definition | Beispiel | Abgrenzung
Was meint "Hochpunkt"?
◦ Der Graph einer Funktion schlängelt sich oft über das Koordinatensystem.
◦ Dabei zeigt er manchmal Auswölbungen nach unten und nach oben.
◦ Der höchste Punkt auf einer Auswölbung nach oben heißt Hochpunkt.
◦ Direkt links und rechts von einem Hochpunkt sind immer tiefere Punkte.
◦ Bei Parabeln ist der Hochpunkt immer auch der => Scheitelpunkt
Ist das dasselbe wie "Hochwert" und "Hochstelle"?
◦ Nein. Der Hochwert ist nur der y-Wert des Hochpunktes.
◦ Und die Hochstelle ist nur der x-Wert des Hochpunktes.
◦ Beides zusammen nennt man dann den Hochpunkt.
Was meint "lokales Maximum"?
◦ Das lokale Maximum meint fast dasselbe wie der Hochpunkt.
◦ Das lokale Maximum ist der y-Wert des Hochpunktes.
Ist ein Hochpunkt immer der höchste Punkt auf einem Graph?
◦ Nein. Ein Graph kann auch noch höhere Punkte haben.
◦ Den höchsten Punkt eines Graphen nennt man den absoluten Hochpunkt.
◦ Das absolute Maximum ist der überhaupt größte y-Wert eines Graphen.
◦ Das absolute Maximum muss aber nicht automatisch ein HP sein.
◦ Mehr dazu steht unter => Lokales Maximum
Welche Eigenschaften hat ein Hochpunkt?
◦ Bei einer Parabel heißt der Hochpunkt Scheitelpunkt.
◦ Die Steigung ist immer Null.
◦ Die Tangente verläuft dort waagrecht.
◦ Die erste Ableitung ist dort Null.
◦ Die zweite Ableitung ist dort negativ.
Hat jeder Graph immer einen Hochpunkt?
◦ Nein, Geraden haben zum Beispiel nie einen Hochpunkt.
◦ Auch Funktionen wie f(x)=x³ oder f(x)=tan(x) haben keinen Hochpunkt.
Kann ein Graph mehrere Hochpunkte haben?
◦ Ja. Die Sinusfunktion hat unendlich viele Hochpunkte.
◦ Auch ganzrationale Funktionen ab dem Grad 4 können mehrere HP haben.
Was sind typische Funktionen mit Hochpunkten?
=> Quadratische Funktionen
=> Gemischtkubische Funktionen
=> Quartische Funktionen
Wofür sind Hochpunkte wichtig?
◦ In der Schulmathematik kommen sie bei Kurvendiskussion vor.
◦ Eine wichtige praktische Anwendung sind Optimierungsaufgaben.
◦ Das sind Aufgaben, bei denen irgendwas möglichst groß sein soll.
◦ Man kann bei einer Firma versuchen, den Gewinn möglichst groß zu machen.
◦ Bei einer Flugzeugkonstruktion soll vielleicht die Reichweite möglichst groß sein.
◦ Bei einer Medizin kann die Wirkungsdauer möglichst gut optimal sein.
◦ Siehe mehr dazu unter => Optimierungsaufgaben
Wie bestimmt man Hochpunkte?
◦ Dazu gibt es viele verschiedene Verfahren.
◦ Man kann HP am Graphen ablesen.
◦ Es gibt rechnerische Verfahren.
◦ Man kann mit Einsetzen Probieren.
◦ Mehr unter => Hochpunkte bestimmen
Synonyme
=> Hochpunkt
=> Maximum
Siehe auch
=> Hochpunkte [Arten, Beispiele]
=> Hochpunkte bestimmen => qck
=> Kurvendiskussion [Übersicht]
=> Tiefpunkt [Gegenstück]
=> eng