Hochpunkt
Definition | Beispiel | Abgrenzung
Ein Hochpunkt ist in der Mathematik ein Punkt auf einem Graphen. In der Umgebung links und rechts gibt es nur niedrigere Punkte. Erklärt werden verschiedene Arten von Hochpunkten und wie man sie bestimmt.
Was meint "Hochpunkt"?
◦ Der Graph einer Funktion schlängelt sich oft über das Koordinatensystem.
◦ Dabei zeigt er manchmal Auswölbungen nach unten und nach oben.
◦ Der höchste Punkt auf einer Auswölbung nach oben heißt Hochpunkt.
◦ Direkt links und rechts von einem Hochpunkt sind immer tiefere Punkte.
◦ Bei Parabeln ist der Hochpunkt immer auch der => Scheitelpunkt
Ist das dasselbe wie "Hochwert" und "Hochstelle"?
◦ Nein. Der Hochwert ist nur der y-Wert des Hochpunktes.
◦ Und die Hochstelle ist nur der x-Wert des Hochpunktes.
◦ Beides zusammen nennt man dann den Hochpunkt.
Was meint "lokales Maximum"?
◦ Das lokale Maximum meint fast dasselbe wie der Hochpunkt.
◦ Das lokale Maximum ist der y-Wert des Hochpunktes.
Ist ein Hochpunkt immer der höchste Punkt auf einem Graph?
◦ Nein. Ein Graph kann auch noch höhere Punkte haben.
◦ Den höchsten Punkt eines Graphen nennt man den absoluten Hochpunkt.
◦ Das absolute Maximum ist der überhaupt größte y-Wert eines Graphen.
◦ Das absolute Maximum muss aber nicht automatisch ein HP sein.
◦ Mehr dazu steht unter => Lokales Maximum
Welche Eigenschaften hat ein Hochpunkt?
◦ Bei einer Parabel heißt der Hochpunkt Scheitelpunkt.
◦ Die Steigung ist immer Null.
◦ Die Tangente verläuft dort waagrecht.
◦ Die erste Ableitung ist dort Null.
◦ Die zweite Ableitung ist dort negativ.
Hat jeder Graph immer einen Hochpunkt?
◦ Nein, Geraden haben zum Beispiel nie einen Hochpunkt.
◦ Auch Funktionen wie f(x)=x³ oder f(x)=tan(x) haben keinen Hochpunkt.
Kann ein Graph mehrere Hochpunkte haben?
◦ Ja. Die Sinusfunktion hat unendlich viele Hochpunkte.
◦ Auch ganzrationale Funktionen ab dem Grad 4 können mehrere HP haben.
Was sind typische Funktionen mit Hochpunkten?
=> Quadratische Funktionen
=> Gemischtkubische Funktionen
=> Quartische Funktionen
Wofür sind Hochpunkte wichtig?
◦ In der Schulmathematik kommen sie bei Kurvendiskussion vor.
◦ Eine wichtige praktische Anwendung sind Optimierungsaufgaben.
◦ Das sind Aufgaben, bei denen irgendwas möglichst groß sein soll.
◦ Man kann bei einer Firma versuchen, den Gewinn möglichst groß zu machen.
◦ Bei einer Flugzeugkonstruktion soll vielleicht die Reichweite möglichst groß sein.
◦ Bei einer Medizin kann die Wirkungsdauer möglichst gut optimal sein.
◦ Siehe mehr dazu unter => Optimierungsaufgaben
Wie bestimmt man Hochpunkte?
◦ Dazu gibt es viele verschiedene Verfahren.
◦ Man kann HP am Graphen ablesen.
◦ Es gibt rechnerische Verfahren.
◦ Man kann mit Einsetzen Probieren.
◦ Mehr unter => Hochpunkte bestimmen
Synonyme
=> Hochpunkt
=> Maximum
Siehe auch
=> Hochpunkte [Arten, Beispiele]
=> Hochpunkte bestimmen => qck
=> Kurvendiskussion [Übersicht]
=> Tiefpunkt [Gegenstück]
=> eng
