Bildbeschreibung und Urheberrecht Gauß-Algorithmus

Verfahren zum Lösen beliebiger linearer Gleichungssysteme

Wozu ist das Verfahren gut?

◦ Der Gauß-Algorithmus dient zur Lösungs linearer Gleichungssysteme.
◦ Was ein lineare Gleichungsystem ist steht unter der Abkürzung => LGS
◦ Wenn ein LGS 3 oder mehr Unbekannte hat, nimmt man oft den Gauß-Algorithmus.
◦ Es ginge auch mit Einsetzen, Gleichsetzen oder dem Additionsverfahren.
◦ Aber in der Regel ist ab 3 Unbekannten der Gauß-Algorithmus schneller.
◦ Der Gauß-Algorithmus funktioniert für beliebig viele Ungekannte.
◦ Die folgende Erklärung ist für 3 Gleichungen mit 3 Unbekannten:

Beispiel

I 2x + 1y + 1z = 11
II 2x + 2y + 2z = 18
III 3x + 2y + 3z = 24

◦ Hier heißen die Unbekannten x, y und z.
◦ Es könnten aber auch a, b und c sein.

Wichtig ist:

◦ Ganz links steht in jeder Zeile das x mit seinem Koeffizienten (Vorfaktor).
◦ Dann kommt das y, dann das z, dann das Gleichzeichen, ...
◦ und rechts vom Gleichzeichen steht die Zahl ohne Unbekannte.
◦ In jeder der drei Gleichungen kommen die selben drei Unbekannten vor.

Vorbereitung

◦ Man lässt bein Aufschreiben alle Unbekannten weg.
◦ Dann bleiben nur noch die Zahlen (Koeffizienten) übrig.
◦ Das spart Schreibarbeit und macht alles übersichtlicher.
◦ Das gibt die Koeffizientenmatrix:

2 1 1 11
2 2 2 18
3 2 3 24

Was ist das erste Ziel?

◦ Das erste Ziel des Algorithmus ist die Stufenform.
◦ Die Stufenform heißt oft auch Dreiecksform:

* * * *
0 * * *
0 0 * *

◦ In der zweiten Zeile steht dann links eine Null.
◦ In der dritten Zeile stehen links zwei Nullen.
◦ Die anderen Zahlen sind ganz egal.

Wie geht man vor?

Um das LGS in die Stufenform zu bringen, darf man immer..

◦ alle Zahlen in einer Zeile mit der selben Zahl durchmultiplizieren,
◦ alle Zahlen in einer Zeile durch die selbe Zahl teilen,
◦ alle Zahlen aus einer Zeile zu den Zahlen einer anderen Zeile addieren,
◦ alle Zahlen von einer Zeile von den Zahlen einer anderen Zeile abziehen.

Das Verfahren im Überblick

1. Falls Brüche vorhanden sind, diese über Multiplikation mit Hauptnenner beseitigen.
2. Mache über Multiplikation alle Zahlen der ersten Spalte (von oben nach unten) gleich.
2. Schreibe die oberste Zeile neu auf (ohne Änderung)
3. Dann: Zweite Zeile minus erste Zeile, kurz: II-I
4. Dann: Dritte Zeile minus erste Zeile, kurz: III-I
6. Mache über Multiplikation in II und III die Zahlen der zweiten Spalte gleich.
7. Dann: von dritter Zeile die zweite abziehen, kurz: III-II
8. Jetzt ist die Stufenform erreicht, schreibe alles neu hin.

Für das LGS oben kommt raus:

x y z
6 3 3 33
0 3 3 21
0 0 6 24

9. Schreibe jetzt alles mit Unbekannten hin:

I 6x + 3y + 3z = 33
II 0x + 3y + 3z = 21
III 0x + 0y + 6z = 24

10. Rückwärtseinsetzen

◦ Löse III, das gibt hier: z=4
◦ Setze in II für z die 1 ein und löse, gibt: y=3
◦ Setze in I für z die 1 und y die 3 ein und löse, gibt: x=2

11. Endergebnis aufschreiben

◦ x=2
◦ y=3
◦ z=4

Synonyme

=> Diagonalverfahren
=> Gauß-Algorithmus
=> Gauß-Verfahren

Siehe auch

=> Koeffizientenmatrix
=> LGS [Themenübersicht]
=> Stufenform
=> qck






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