Ganzrationale Gleichungen über Teilermethode
Lösen
Basiswissen
Viele ganzrationale Gleichungen ab Grad 3 sind über feste Verfahren nur sehr aufwändig oder gar nicht lösbar. Eine Methode zum intelligenten, effizienten Probieren ist hier oft der beste Weg. Das wird hier kurz beschrieben.
Hintergrund
Das hier beschriebene Lösungsverfahren beruht auf dem sogenanten Satz über rationale Nullstellen. Es wird oft auch als effizientes Probieren bezeichnet. Es liefert nicht sicher alle Nullstellen, oft aber sehr schnell und einfach viele mögliche Nullstellen von ganzrationalen Gleichungen, auch Polynomgleichungen oder diophantische Gleichungen genannt. Zum Hintergrund lies unter Satz über rationale Nullstellen ↗
Anwendbarkeit
- Ganzrationale Gleichungen kann man immer in eine bestimmte Form bringen:
- 0 = a·x^n + b·x^(n-1) + c·x^(n-2) + z
- Die Zahlen a bis z nennt man Koeffizienten.
- Der Satz gilt nur, wenn alle Koeffizienten ganze Zahlen sind.
- Ganze Zahlen sind z. B. die -3, die -2, die 0, die 1, die 13 etc.
- Wäre einer der Koeffizienten z. B. die Wurzel von 2 oder pi, ...
- dann wäre der Satz nicht anwendbar.
Aussage
- Der Koeffizient a vor der höchsten Potenz von x heißt Leitkoeffizient ↗
- Der Koeffizient z ohne eine Potenz von x heißt absolutes Glied ↗
- Gibt es Lösungen für die Gleichung, dann kann sie als Bruch geschrieben werden.
- Der Zähler des Bruches ist dann immer ein Teiler des absoluten Gliedes.
- Der Nenner des Bruches ist dann immer ein Teiler des Leitkoeffizienten.
- Andere rationale Lösungen kann es nicht geben.
Anleitung
Zuerst muss man die Gleichung kürzen, das heißt: durch Division der rechten Seite alle Koeffizienten so klein wie möglich machen, sie müssen dabei aber ganze Zahlen bleiben. Man notiert dann alle positiven und negativen Teiler des Leitkoeffizienten sowie des absoluten Gliedes, also ihre Teilermengen. Dann bildet man alle möglichen Kombinationen von Brüchen aus beiden Mengen. Dann probiert man der Reihe nach für alle diese Brüche über Einsetzen, ob sie eine Lösung sind.
Beispiel
- Gleichung als Beispiel: 0 = 2x^4 + 2x^3 - 6x^2 - 162
- Kürzen über "durch zwei": 0 = x^4 + x^3 - 3x^2 - 81
- Der Leitkoeffizient ist hier die Zahl 1.
- Das absoute Glied ist hier die Zahl -81.
- Teilermenge des Leitkoeffizienten: {1; -1}
- Teilermenge des absoluten Gliedes: {-81;-27;-9;-3;-1;1;3;9;27;81}
Nutzen
- Mit diesem Satz kann man eine endliche Menge möglicher Lösungen definieren.
- Diese möglichen Lösungen kann man der Reihe an der Gleichung ausprobieren.
- Damit findet mit immer sicher alle möglichen rationalen Lösungen der Gleichung.
- Rational nennt man Lösungen, die man als Bruch schreiben kann rationale Zahl ↗
- Man findet damit keine irrationale Lösungen, siehe irrationale Zahl ↗
- Kombination bilden aus: Zähler ist vom absoluten Glied, Nenner vom Leitkoeffizienten:
- Und jede solche Kombination als mögliche Lösung überprüfen über die Einsetzprobe ↗
- Mögliche Lösung: -81/-1 = 81 ↯
- Mögliche Lösung: -27/-1 = 27 ↯
- Mögliche Lösung: -9/-1 = 9 ↯
- Mögliche Lösung: -3/-1 = 3 ✔
- Mögliche Lösung: -1/-1 = 1 ↯
- Mögliche Lösung: 1/-1 = -1 ↯
- Mögliche Lösung: 3/-1 = -3 ↯
- Mögliche Lösung: 9/-1 = -9 ↯
- Mögliche Lösung: 81/-1 = -81
- Mögliche Lösung: -81/1 = -81
- Mögliche Lösung: -27/1 = -27
- Mögliche Lösung: -9/1 = -9 ↯
- Mögliche Lösung: -3/1 = -3 ↯
- Mögliche Lösung: -1/1 = -91 ↯
- Mögliche Lösung: 1/1 = 1 ↯
- Mögliche Lösung: 3/1 = 3 ✔
- Mögliche Lösung: 9/1 = 9 ↯
- Mögliche Lösung: 81/1 = 81 ↯
Fazit
Mit dieser Methode hat man alle möglichen Lösungen erfasst, die es als rationale Zahl geben kann. Die einzige solche Lösung ist hier die Zahl 3. Zur weiteren Probe kann man sich auch den Graphen von f(x) = 2x^4 + 2x^3 - 6x^2 - 162 ansehen. Bei x=3 dürfte es die einzige Nullstelle geben. Möglicherweise gibt es noch irrationale Nullstellen. Das könnten zum Beispiel Zahlen sein wie
√5, √14, e oder pi. Diese werden durch das Verfahren hier nicht erfasst. Aber dadurch dass man überhaupt erst einmal eine erste Nullstelle finden kann, eröffnen sich dann für ganzrationale Gleichungen weitere Methode. Hat man zum Beispiel mindestens eine Nullstellge gefunden, kann man weitere Lösungen finden mit der sogenannten Polynomdivision ↗