Exponentielles Wachstum

Wenn x eins größer wird, dann wird y immer mit der gleichen Zahl malgenommen

Wachstum

◦ Wachstum meint hier sehr weit gefasst alles möglichen Dinge.
◦ Das Wachstum kann sich etwa auf die Geldmenge beim Sparen beziehen.
◦ Das Wachstum könnte auch die Anzahl Elefanten in einem Wildpark meinen.

Wachstumsschritte

◦ Mathematisch betrachtet man das Wachstum schrittweise.
◦ Ein Schritt kann zum Beispiel immer derselbe Zeitraum sein.
◦ Man könnte dann fragen: wie wächst die Geldmenge in einem Jahr?
◦ Oder: wie nimmt die Anzahl Elefanten in einem Monat zu?

Exponentiell

◦ Bei einem exponentiellen Wachstum kommt pro Wachstumsschritt ...
◦ immer derselbe Anteil der vorherigen Anzahl neu dazu.
◦ Beispiel: Pro Jahr vermehre sich eine Elefantengruppe so, ...
◦ dass es am Jahresende die Hälfte mehr Elefanten gibt wie am Jahresanfang.
◦ In Zahlen könnte das sein: 32 -> 48 -> 72 -> 108 -> 162 -> 243 ...

Mit Wachstumsfaktor

◦ Anstatt zu sagen, dass immer die Hälfte neu dazukommt, ...
◦ kann man auch sagen, dass der Wachstumsfaktor konstant sei.
◦ Als Formel: Alte Anzahl mal Wachstumsfaktor = neue Anzahl
◦ Im Elefantenbeispiel war der Wachstumsfaktor die Zahl 1,5.
◦ 32 mal 1,5 gab 48.
◦ 48 mal 1,5 gab 72.
◦ 72 mal 1,5 gab 108.
◦ Und so weiter.

Als Funktion

◦ Wenn x die Anzahl der Wachstumsschritte meint ...
◦ und y oder f(x) steht für die Anzahl der wachsenden Dinge ...
◦ dann kann man Wachstumsvorgänge gut modellieren Exponentialfunktion:

B(x) = a·q^x

Legende

◦ B(x) = Bestand oder Anzahl von den Dingen die Wachsen nach x Schritten
◦ a = Anfangsanzahl oder Anfangsbestand, mathematisch: beim 0-ten Schritt
◦ q = Wachstumsfaktor (größer 1 bei Wachstum, kleiner 1 bei Schrumpfen)
◦ x = Anzahl der Wachstumsschritte, in denen "q passiert".
◦ Mehr dazu unter => Erweiterte Exponentialfunktion

Siehe auch:

=> Erweiterte Exponentialfunktion [Übersicht]
=> Wachstumsmodelle [Beispiele]
=> Generationszeit berechnen
=> Wachstumsfaktor
=> Wachstumsrate
=> Zinseszinsen







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