R


Eigenvektor


Definition


Basiswissen


A·x = λ·x: eine Matrix A wird mit einem Vektor x multipliziert. Wenn man die Matrix A durch eine reelle Zahl λ ersetzen könnte, ohne dass sich dadurch der Ergebnisvektor ändert, dann ist λ ein Eigenwert der Matrix A und x ein Eigenvektor dieser Matrix.

Formel



Legende



In Worten


In Worten heißt diese Gleichung: es gibt eine reelle Zahl λ, mit der man einen Vektor multiplizieren kann und zwar so, dass dabei dasselbe Ergebnis herauskommt, wie bei der Multiplikation der Matrix A mit dem Vektor.

Anschauliche Interpretation


Multipliziert man eine Matrix A mit einem ihrer Eigenvektoren x, dann ist das Ergebnis wieder ein Vektor. Dieser Vektor ist immer kollinear wie der Ausgangsvektor x. Kollinear heißt: parallel. Der Ergebnisvektor kann aber eine andere Länge und eine andere Orientierung haben als der Ausgangsvektor x.

Verallgemeinerung: komplexen Zahlen


Die bisherige Definition war beschränkt auf reelle Zahlen als λ-Werte. Aber sowohl die Elemene der Matrix als auch λ können auch für komplexe Zahlen definiert werden. Dieser Fall wird hier aber nicht weiter untersucht.

Hat jede Matrix Eigenvektoren?



Was ist das Eigenwertproblem?



Fußnoten