Biquadratische Gleichungen über Substitution
Anleitung
Basiswissen
0 = ax^4 + bx² + c - Gleichungen in dieser Grunform nennt man biquadratisch. Das übliche - aber nicht das einzige - Lösungsverfahren ist die Substitution. Dise ist hier Schritt-für-Schritt erklärt.
Was meint biquadratische Gleichung?
- Jede Gleichung, die man in die folgende Form bringen kann:
- 0 = ax^4 + bx² + c
- Das a darf jede reelle Zahl außer 0 sein.
- b und c dürfen beliebige reelle Zahlen sein.
- Die biquadratische Gleichung gehört zu den quartischen Gleichungen.
- Die quartischen Gleichungen gehören zu den ganzrationalen Gleichungen.
Was meint lösen?
- Das man für das x eine Zahl findet, ...
- mit der die Gleichung aufgeht.
Was meint Substitution?
- Subsitution ist ein anderes Wort für "Ersetzung".
- Man ersetzt das x² durch ein z.
- Man ersetzt das x^4 durch ein z².
Beispiel einer Substitution
- Man hat 0 = x^4 + x² - 20
- Man substituiert und dann wird daraus:
- 0 = z² + z - 20
Jetzt kommt die pq-Formel
- Durch die Substitution hat man jetzt eine quadratische Gleichung.
- Quadratische Gleichungen kann man immer mit der pq-Formel lösen.
- Mehr dazu unter Quadratische Gleichungen über pq-Formel ↗
- Beim Beispiel oben kämen als Lösungen heraus:
- z=4 und z=-5
Am Ende kommt die Rücksubstitution
- Über die pq-Formel für das z hat man Lösungen für z.
- Man will aber eigentlich Lösungen für das x.
- Dazu muss man "rücksubstitutieren".
- Man setzt beide z-Werte gleich x²:
- Also: x²=4 und x²=-5.
- x²=4 gibt als Lösungen -2 und 2.
- x²=-5 gibt keine Lösungen.
Antwort
- Die Gleichungen 0 = x^4 + x² - 20 ...
- hat die Lösungen -2 und 2.