Biquadratische Funktion
f(x) = ax^4 + bx^2 + c
Basiswissen
Eine Funktion mit x hoch 4 und x hoch 2 nennt man biquadratisch. Diese Funktion und ihre Berechnungen werden hier kurz vorgestellt.
Was meint "Biquadrat"
- Ein Biquadrat ist ein Quadrat von einem Quadrat.
- (x²)², kurz auch als x^4 geschrieben, ist ein Biquadrat.
- Statt Biquadrat kann man auch "vierte Potenz" von etwas sagen.
Was meinte "biquadratische Funktion" früher?
- Früher (etwa bis zum zweiten Weltkrieg) meinte man damit jede quartische Funktion.
- Das sind ganzrationalel Funktionen vom Grad 4, also z. B.: f(x)=x^4+3x^2+4x-5.
Was meint "biquadratische Funktion" heute?
- Heute wird der Begriff enger gefasst.
- Heute meint er nur quartische Funktionen, die als Exponten von x die 4, die 2 oder die 0 haben.
- Ein Beispiel wäre f(x) = x^4 - x² + 4
- Hier wird die Definition im engeren Sinn verwendet.
Wie sieht die aktuelle Definition aus?
- Die höchste Potenz von x ist 4.
- Es darf kein Glied mit x hoch 3 geben.
- Es darf noch ein Glied mit x hoch 2 geben.
- Es darf kein Glied mit x hoch 1 (also nur x) geben.
- Es darf ein Glied ohne x geben, muss es aber nicht.
- Im Funktionsterm ax^4+cx²+d darf
- a nicht gleich 0 sein,
- c jede beliebige Zahl (auch 0) sein.
- d jede beliebige Zahl (auch 0) sein.
Zu welchen Funktionen gehören die biqu. Fkt.?
- Biquadr. Fn. sind ein Sonderfall quartischer Gleichungen.
- Biquadr. Fn. gehören zu den ganzrationalen Gleichungen.
- Biquadr. Fn. sind keine quadratischen Gleichungen.
Was gilt für den Graphen
- Ist immer achsensymmetrisch zur y-Achse.
- Kann 0, 1, 2, 3 oder 4 Nullstellen haben.
- Kann genau 1 oder 3 Extremwerte haben.
- Kann 0 oder genau 2 Wendepunkte haben.
- Kann nie einen Sattelpunkt haben.
- Ist oft eine Pseudonormalparabel ↗
- Ist oft eine Backenzahnkurve ↗
