Beweis Wurzel Zwei
Reductio ad absurdum
Basiswissen
Schritt-für-Schritt: eine rationale Zahl ist eine Zahl, die sich durch einen Bruch darstellen lässt. Schon die alten Griechen vermuteten, dass das bei der Wurzel aus der Zwei nicht klappen könnte. Bewiesen wurde das dann durch den berühmten Mathematiker Euklid.
Methode
Die Beweisführung erfolgt indirekt nach der Methode des Widerspruchsbeweises, das heißt, es wird gezeigt, dass die Annahme, die Wurzel aus 2 sei ein Bruch, zu einem Widerspruch führt (lateinisch: reductio ad absurdum).
Es wird also angenommen, dass die Quadratwurzel aus 2 ein Bruch ist. Einen Bruch könnte man als p/q schreiben. Es wird ferner angenommen, dass p und q teilerfremde ganze Zahlen sind, der Bruch p/q also in gekürzter Form vorliegt:
- Wurzel 2 = p/q
Das bedeutet, dass das Quadrat des Bruchs p/q gleich 2 ist:
- (p/q) · (p/q) = 2,
- oder umgeformt:
- p·p = 2·q·q
Da 2·q·q eine gerade Zahl ist, ist auch p·p gerade. Daraus folgt, dass auch die Zahl p gerade ist.
Die Zahl p lässt sich also darstellen durch:
- p = 2r, wobei r eine ganze Zahl ist.
- Damit erhält man mit obiger Gleichung:
- 2·q·q = p·p = (2r)·(2r) = 4·r·r
- und hieraus nach Division durch 2
- q·q = 2·r·r.
Mit der gleichen Argumentation wie zuvor folgt, dass q·q und damit auch q eine gerade Zahl ist. Da p und q durch 2 teilbar sind, erhalten wir einen Widerspruch zur Teilerfremdheit.
Dieser Widerspruch zeigt, dass die Annahme, die Wurzel aus 2 sei eine rationale Zahl, falsch ist und daher das Gegenteil gelten muss. Damit ist die Behauptung, dass die Wurzel aus Zwei irrational ist, bewiesen.