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Allgemeine Form in Scheitelpunktform über QE

f(x)=4x²-24x+32 umformen in f(x)=4(x-3)²-4

Worum geht es hier?

◦ Es geht um die Bestimmung des Scheitelpunktes von quadratischen Funktionen.
◦ Aus der Scheitelpunktform (SPF) kann man den Scheitelpunkt direkt ablesen.
◦ Oft hat man aber von der Funktion erst einmal die Allgemeine Form gegeben.
◦ Hier geht es darum, die Allgemeine Form in die SPF umzuwandeln.
◦ Es wird das Verfahren mit der Quadratischen Ergänzung (QE) erkkärt.

Was ist das Ziel?

Allgemeine Form gegeben: f(x) = 4x² - 24x + 32
Scheitelpunktform gesucht: f(x) = a(x-d)² + e

Wie geht das?

1. Ausklammern
1. Faktor vor dem x² ausklammern
1. Zum Ausklammern eine eckige Klammer benutzen:
1. Gibt: 4[x²-6x+8]
1. Falls vor dem x² nur ein - steht, dann die -1 ausklammern
1. Falls vor x² nichts steht, Schritt 1 überspringen.

2. Quadratische Ergänzung
2. Zahl vor x halbieren und dann quadrieren gibt hier: 9
2. Dieses Ergebnis dann einmal mit + und einmal mit - hinschreiben:
2. 4[x²-6x+9-9+8]

3. Einklammern
3. Nun wird aus den ersten drei Gliedern der eckigen Klammer ...
3. eine runde Klammer mit Quadrat gemacht. Das geht immer so:
3. Hinter der eckigen Klammer sofort eine runde Klammer aufmachen: 4[(
3. Hinter die runde Klammer immer und sofort ein blankes x schreiben: 4[(x
3. Dann die Zahl vor dem x aus Schritt zwei mit Vorzeichen halbieren ...
3. und diese Hälfte mit Vorzeichen anfügen: 4[(x-3
3. Runde Klammer zumachen und quadrieren: 4[(x-3)²
3. Zweite und dritte Zahl nach dem x aus Schritt 2 ...
3. mit Vorzeichen anfügen: 4[(x-3)²-9+8
3. Eckige Klammer zumachen: 4[(x-3)²-9+8]
3. Strichrechnung (plus/minus) in eckiger Klammer ausführen: 4[(x-3)²-1]

4. Eckige Klammer auflösen
4. Das ist dasselbe wie ausmultiplizieren:
4. f(x) = 4(x-3)² - 4

5. Am Ende nicht vergessen, das f(x) links vor das
5. Gleichheitszeichen zu schreiben.
5. Das ist jetzt die Scheitelpunktform der quadratischen Funktion.
5. Aus der Scheitelpunktform kann man die Koordinaten des ...
5. Scheitelpunktes direkt ablesen.

Siehe auch

=> Allgemeine Form in Scheitelpunktform [Alle Verfahren] => qck
=> Quadratische Funktion [Übersicht]