Bildbeschreibung und Urheberrecht Additionsverfahren

Sinn | Anleitung | Zahlenbeispiel

Wozu ist das Additionsverfahren gut?

◦ Mit kann man einfache lineare Gleichungssysteme (LGS) lösen.
◦ Einfach meint hier: man hat zwei Gleichungen.
◦ In jeder Gleichung gibt es zwei Unbekannte.
◦ Die Unbekannten heißen meistens x und y.

Was meint "LGS lösen"?

◦ Das meint, dass man eine Lösung finden soll, ...
◦ die für beide Gleichungen des LGS passt.
◦ Mehr unter => LGS lösen

Wie geht das Additionsverfahren?

1. Hinschreiben

◦ Man schreibt beide gegebenen Gleichungen untereinander.
◦ Die obere Gleichung nennt man (römisch) I.
◦ Die untere Gleichung nennt man (römisch) II.
◦ Beispiel:
◦ I -2x=-2y+8
◦ II 3y=4x+10

2. Gleichungen sortieren

◦ Bei beiden Gleichungen müssen die Unbekannten ...
◦ in derselben Reihenfolge aufgeschrieben sein.
◦ Wenn das noch nicht so ist, dann erst umformen:
◦ Die zwei Gleichungen oben muss man also erst
◦ umformen in die richtige Reihenfolge:
◦ I 2y=2x+8
◦ II 3y=4x+10

3. Wichtige Fachworte

◦ Ziel ist es gleich eine Unbekannte verschwinden zu lassen.
◦ "Verschwinden lassen" heißt hier "eliminieren".
◦ Es ist egal, ob man x oder y eliminiert.
◦ Man wählt die Unbekannte, bei der es einfacher geht.
◦ Dazu guckt man sich die Koeffizienten der Unbekannten an.
◦ Die Koeffizienten sind die Zahlen direkt vor den Unbekannten.
◦ Bei 3y=4x+10 wären die 3 und die 4 die Koeffizienten.
◦ Tipp: y ist wie 1y und x ist wie ein x.

4. Unbekannte zum Eliminieren aussuchen

◦ Man betrachtet sich erst die Koeffizienten von x:
◦ I: 2y=2x+8 und II 3y=4x+10
◦ Das wären hier die 2 (Gleichung I) und die 4 (Gleichung II).
◦ Ist der eine Koeffizient ein leicht erkennbares Vielfache ...
◦ vom anderen Koeffizienten, kann man diese Variable gut eliminieren.
◦ Hier ist die 4 das "Zweifache" von der 2. "x" kann man also gut eliminieren.
◦ (Wäre das nicht so, müsste man beim y sehen, ob es dort passt.)

5. Gleichung koeffizientengleich machen

◦ Lies vielleicht erst nach unter => Koeffizientengleich
◦ Für die ausgesuchte Unbekannte x müssen die Koeffizienten gleich sein.
◦ Dazu darf man ganze Gleichungen mit einer beliebigen Zahl multiplizieren.
◦ Wenn wir die Gleichung I mit 2 malnehmen, wird der x-Koeffizient zu 4.
◦ Also: I 2 multiplizieren, II lassen und alles neu hinschreiben:

◦ I 2y=2x+8 | * 2
◦ II 3y=4x+10

◦ I 4y=4x+16
◦ II 3y=4x+10

6. Eine Gleichung negieren

◦ Negieren heißt hier "Vorzeichen umkehren".
◦ (Vorzeichen umkehren macht aus - ein + und aus + ein -)
◦ In der einen Gleichung muss der gewählte Koeffizient positiv sein.
◦ In der anderen Gleichung muss er negativ sein.
◦ Wenn das schon so ist, kann man diesen Schritt überspringen.
◦ Ansonsten: eine der Gleichungen mit -1 malnehmen.
◦ Das machen wir hier mit Gleichung I:

◦ I 4y=4x+16 | *(-1)
◦ II 3y=4x+10

◦ I -4y=-4x-16
◦ II 3y=4x+10

7. Gleichungen addieren

◦ Jetzt werden beide Gleichungen addiert.
◦ Das Ergebnis ist eine einzelne neue Gleichung.
◦ Man addiert dabei für x und y und die reinen Zahlen getrennt.
◦ Wir nennen diese Gleichung römisch III.

◦ I -4y=-4x-16
◦ II 3y=4x+10

◦ Man rechnet: -4y+3y sowie -4x+4x sowie -16+10
◦ Das gibt III: -1y=0x-6
◦ 0x kann man auch weglassen.
◦ Das war das Ziel: x eliminieren.

8. Römisch III lösen

◦ Jetzt hat man eine Gleichung mit einer Unbekannten.
◦ Römisch III hat nur noch das y als Unbekannte.
◦ Diese Gleichung nach y auflösen:
◦ III -1y=-6 | :(-1)
◦ III y=6

9. Lösung in eine Ursprungsgleichung einsetzen.

◦ Wir wissen jetzt, dass y=6 sein muss.
◦ Wir setzen die 6 in eine der beiden Ausgangsgleichung ein.
◦ Welche Ausgangsgleichung wir nehmen ist egal.
◦ Wir nehmen hier I, mit y=6 gibt das dann:
◦ I 2*6=2x+8

10. Ursprungsgleichung lösen

◦ I 2*6=2x+8 | -8
◦ I 4=2x | :2
◦ I 2=x

11. Antwort hinschreiben

◦ x=2 und y=6 ist die Lösung, die für beide Gleichungen passt.
◦ Oft wird die Lösung auch so aufgeschrieben: (2|6).

Geht das Additionsverfahren immer?

◦ Ja, aber es ist manchmal aufwändig.
◦ Ob es leicht geht, hängt von den Zahlen der Gleichungen ab.
◦ Das Additionsverfahren geht aber oft sehr gut.
◦ Wenn man gut ist, braucht man für die Aufgabe oben etwa 30 Sekunden.

Siehe auch

=> LGS [Themenübersicht]
=> Additionsverfahren => pdf
=> Additionsverfahren => qck






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