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Ableitung

Steigung einer Funktion an einer bestimmten x-Stelle

Das Wort Ableitung im engeren und eigentlichen Sinn steht für das Steigungsverhalten einer Funktion nahe an einer bestimmten x-Stelle (also nahe an einem Punkt auf einem Graphen). Im erweiterten Sinn steht Ableitung auch für eine neue Funktion f'(x) die für alle beliebigen x-Stellen die Steigung für eine Funktion f(x) berechnen kann. Um sich präzise auszudrücken, sollte man f'(x) die Ableitungsfunktion und zum Beispiel f'(3) die Ableitung nennen.

Ableitung

◦ Man hat eine Funktion f(x) gegeben.
◦ Man geht an eine bestimmte x-Stelle auf der x-Achse.
◦ Man geht dann gedanklich auf den dazugehörigen Punkt des Graphen.
◦ An diesen Punkt legt man gedanklich eine Tangente an.
◦ Ihre Steigung ist auch die Steigung von f(x) in diesem Punkt.
◦ Diese Steigung nennt man die Ableitung von f(x).
◦ Siehe auch => Steigung in einem Punkt

Ableitungsfunktion

◦ Eine Funktion f'(x) nennt man die Ableitungsfunktion.
◦ Setzt man einen x-Wert dort ein, dann ist der Funktionswert die Steigung von f(x) an der eingesetzen x-Stelle.
◦ Beispiel: die Ableitungsfunktion f'(x)=2x gehört zu Funktion f(x)=x².
◦ Setzt man die Zahl 5 in f'(x) ein, erhält man: f'(5)=10.
◦ Damit weiß man, dass f(x) an der Stelle x=5 die Steigung 10 hat.
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Beispiel

◦ f(x) ist die eigentliche Funktion, z. B.: f(x) = x²
◦ Man kann von f(x) die sogenannte Ableitungsfunktion bilden:
◦ f(x) = x² gibt die Ableitungsfunktion: f'(x) = 2x
◦ Man kann nun irgendeinen x-Wert in f'(x) einsetzen.
◦ Beispiel f'(3) = 2·3 = 6.
◦ Die Zahl 6 ist der y-Wert von f'(x) bei x = 3.
◦ Der y-Wert von f'(x) ist gleichzeitig die Ableitung von f(x).
◦ Bei x=3 hat die ursprüngliche Funktion f(x) = x² also die Steigung 6.
◦ Mehr unter => Steigung in einem Punkt

Merksatz

◦ Der y-Wert der Ableitung f'(x) ...
◦ ist die Steigung von f(x).

Bestimmung

◦ Zur Bestimmung der Ableitung gibt es mehrere Verfahren:
◦ Am gebräuchlichsten ist die Benutzung der => Ableitungsfunktion
◦ Sehr elementar ist die h-Methode bzw. das => Sekantenverfahren

Synonyme

=> Ableitungsfunktion
=> Erste Ableitung
=> Ableitung

Siehe auch

=> Steigung in einem Punkt
=> Notationen von Ableitungen
=> Erste Ableitung [Bedeutung]
=> Zweite Ableitung [Bedeutung]
=> Dritte Ableitung [Bedeutung]
=> Partielle Ableitung [Bedeutung]
=> Kurvendiskussion [Anwendung]
=> Ableiten [Übersicht]
=> Stelle
=> Punkt
=> eng